Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 10 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

Б
4
.
α
+ (-
α
) = 0 (число
α
+ (-
β
) называется разностью
α
-
β
).
Б
5
. Из
α
>
β
следует, что
α
+
γ
>
β
+
γ
для любого
γ
.
Докажем Б
3
. Возьмем а, а
/
, b, b
/
такие, что а <
α
<
α
/
,
b < 0 < b
/
, тогда, очевидно, aba a a b+
<
<
<
<
+
α
, откуда,
в силу произвольности
а, а
/
, b, b
/
, и из определения опера-
ции сложения следует, что
α
+ 0 =
α
.
Замечание к Б
4
. Число -
α
определяется следующим
образом: если
А/А
/
- сечение, соответствующее числу
α
, то к
нижнему классу
A
числа -
α
отнесем все рациональные чис-
ла -
а
/
, где а
/
- любое число из класса А
/
, а в верхний класс
A
включим все числа -а, где а - любое число из класса А.
Группа В. Свойства операций умножения и деления.
В
1
.
αβ
=
βα
.
В
2
. (
αβ
)
γ
=
α
(
βγ
).
В
3
.
α
1 =
α
.
В
4
. Если
α
0, то
α
α
⋅=
1
1 (если
β
0, то число
α
β
1
называется частным
α
β
).
В
5
. (
α
+
β
)
γ
=
αγ
+
βγ
.
В
6
. Из
α
>
β
и
γ
>0 следует, что
αγ
>
βγ
.
Докажем, например, В
2
. Пусть сначала
α
,
β
,
γ
> 0.
Возьмем произвольные
а, а
/
, b, b
/
,
с, с
/
такие, что 0 < a <
α
<
a
/
, 0 < b <
β
< b
/
, 0 < c <
γ
< c
/
. Тогда ab <
αβ
< a
/
b
/
, bc <
βγ
<
b
/
с
/
и (аb)с < (
αβ
)
γ
< (а
/
b
/
)с
/
, а(bc) <
α
(
βγ
) < а
/
(b
/
с
/
), но
(
ab)с = а(bc) = abc, (а
/
b
/
)с
/
= а
/
(b
/
с
/
) = а
/
b
/
с
/
, т.е. получили, что
abc < (
αβ
)
γ
< а
/
b
/
с
/
и abc <
α
(
βγ
) < а
/
b
/
с
/
, откуда в силу про-
извольности
а, а
/
, b, b
/
, c, с
/
, и из определения операции ум-
ножения следует, что (
αβ
)
γ
=
α
(
βγ
). В случае чисел произ-
вольных знаков надо лишь учесть правило знаков.
Замечание к В
4
. Если положительное число
α
опре-
деляется сечением
А/А
/
, то для числа
1
α
сечение
~
/
~
/
А
А
строится таким образом: в класс
~
А включаются все отрица-
тельные числа и нуль, а также все числа вида
1
а
/
, где а
/
-
любое число класса
А
/
, а в верхний класс
~
/
А
включим все
числа вида
1
а
, где а- любое положительное число класса
А. Легко убедиться в том, что
~
/
~
/
АА- сечение, определяю-
щее положительное число, которое и обозначим через
1
α
.
Если
α
< 0, то полагаем
1
α
=
1
α
.
Группа Г. Архимедово свойство.
Каково бы ни было число
γ
< 0, существует нату-
ральное число
n такое, что n >
γ
.
В самом деле, если
С/C
/
- сечение, определяющее
γ
, то
сСс,
φ
, но по аксиоме Архимеда для рациональных
чисел существует натуральное число n , большее с
/
, а тогда
и подавно будет
n >
γ
.
Из архимедова свойства следует, в частности, что ка-
ково бы ни было
ε
φ
0
, всегда можно указать натуральное
число
n такое, что
1
n
π
ε
.
1.7. Неравенства для абсолютных величин
Здесь мы остановимся на наиболее часто применяе-
мых неравенствах, содержащих абсолютные величины дей-
ствительных чисел.