Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 10 стр.

          Б4. α + (-α) = 0 (число α + (-β) называется разностью               Замечание к В4. Если положительное число α опре-
α - β).                                                                                                           1           ~ ~
                                                                        деляется сечением А/А/, то для числа         сечение А / А /
         Б5. Из α > β следует, что α + γ > β + γ для любого γ.                                                   α
         Докажем Б3. Возьмем а, а/, b, b/ такие, что а < α < α/,                                        ~
                                                                        строится таким образом: в класс А включаются все отрица-
b < 0 < b/, тогда, очевидно, a + b < a < α < a ′ < a ′ + b ′, откуда,                                                     1
в силу произвольности а, а/, b, b/, и из определения опера-             тельные числа и нуль, а также все числа вида / , где а/ -
                                                                                                                         а
ции сложения следует, что α + 0 = α.                                                          /                     ~/
         Замечание к Б4. Число -α определяется следующим                любое число класса А , а в верхний класс А включим все
образом: если А/А/ - сечение, соответствующее числу α, то к                          1
                                                                        числа вида     , где а- любое положительное число класса
нижнему классу A числа -α отнесем все рациональные чис-                             а
                                                                                                       ~ ~
ла -а/, где а/ - любое число из класса А/, а в верхний класс A          А. Легко убедиться в том, что А / А / - сечение, определяю-
включим все числа -а, где а - любое число из класса А.                                                                           1
                                                                        щее положительное число, которое и обозначим через          .
         Группа В. Свойства операций умножения и деления.                                                                         α
         В1. αβ = βα.                                                                             1        1
         В2. (αβ)γ = α(βγ).                                             Если α < 0, то полагаем       =−       .
                                                                                                  α        α
         В3. α1 = α.                                                            Группа Г. Архимедово свойство.
                                1                                              Каково бы ни было число γ < 0, существует нату-
         В4. Если α ≠ 0, то α ⋅ = 1 (если β ≠ 0, то число
                                α                                       ральное число n такое, что n > γ.
     1                         α                                               В самом деле, если С/C/- сечение, определяющее γ, то
α⋅       называется частным       ).
     β                         β                                        ∀с ′ ∈ С ′, с ′ φ γ , но по аксиоме Архимеда для рациональных
          В5. (α + β)γ = αγ + βγ.                                       чисел существует натуральное число n , большее с/, а тогда
          В6. Из α > β и γ>0 следует, что αγ > βγ.                      и подавно будет n > γ.
        Докажем, например, В2. Пусть сначала α, β, γ > 0.                       Из архимедова свойства следует, в частности, что ка-
Возьмем произвольные а, а/, b, b/, с, с/ такие, что 0 < a < α <         ково бы ни было ε φ 0 , всегда можно указать натуральное
a/, 0 < b < β < b/ , 0 < c < γ < c/. Тогда ab < αβ < a/ b/ , bc < βγ                            1
                                                                        число n такое, что π ε .
< b/ с/ и (аb)с < (αβ)γ < (а/b/ )с/, а(bc) < α(βγ) < а/(b/ с/), но                              n
(ab)с = а(bc) = abc, (а/b/)с/ = а/(b/с/) = а/b/с/, т.е. получили, что
abc < (αβ)γ < а/b/с/ и abc < α(βγ) < а/b/ с/ , откуда в силу про-            1.7. Неравенства для абсолютных величин
извольности а, а/, b, b/, c, с/, и из определения операции ум-                Здесь мы остановимся на наиболее часто применяе-
ножения следует, что (αβ)γ = α(βγ). В случае чисел произ-               мых неравенствах, содержащих абсолютные величины дей-
вольных знаков надо лишь учесть правило знаков.                         ствительных чисел.