Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 11 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

1) Если
β
> 0, то неравенство
α
β
π
эквивалентно
двойному неравенству: -
β
<
α
<
β
.
В самом деле, если
α
β
π
, то
α
<
β
и -
α
<
β
, т.е.
α
>-
β
; значит, -
β
<
α
<
β
. Обратно, если
α
<
β
и
α
> -
β
, то име-
ем одновременно:
α
<
β
и -
α
<
β
, т.е.
α
β
π
.
1а)
α
β
β
α
β
⇔− .
2)
αβ α β
+≤ +.
Это неравенство вытекает из очевидных нера-
венств:
α
α
α
и
−≤
βββ
, складывая которые
почленно, получаем:
−+≤++()
αβ αβαβ
, откуда, в
силу 1а), получаем требуемое.
2а)
αβ α β
−≤ +.
Это следует из 2), если в нем
β
заменить на -
β
.
3)
αβ α β
−≥
.
Т.к.
α
= (
α
+
β
) -
β
, то в силу 2а),
ααββ
≤++,
откуда и следует требуемое.
3а)
αβ α β
−≥ .
Вытекает из 3) с помощью замены
β
на -
β
.
4)
αβ β α
+≥
.
Т.к.
β
= (
α
+
β
) -
α
то в силу 2а),
βαβα
≤++,
откуда следует требуемое.
4а)
αβ β α
−≥.
Получается из 4), если в нем
β
заменить на -
β
.
5)
αβ α β
−≥ .
Это следует из 3а) и 4а) с учетом 1а).
2. Теория пределов.
2.1. Числовая последовательность и её предел
Переменная величина x считается заданной, если
указано множество
X={x} значений, которые она может
принять. Постоянную величину можно рассматривать как
частный случай переменной: ее множество значений состо-
ит из одного элемента. При введении понятия предела пе-
ременной величины
x недостаточно знать лишь из какого
числового множества
X принимает значения эта перемен-
ная, а надо знать также, какие именно значения и в каком
порядке она их принимает.
Пусть дан натуральный ряд чисел: 1, 2, ...,
n, .... Если
каждому
n по какому-либо закону сопоставить некоторое
действительное число
x
n
, то получаем так называемую чи-
словую последовательность:
x
1
, x
2
, ..., x
n
, ...(1), члены или
элементы которой
x
n
занумерованы всеми натуральными
числами и расположены в порядке возрастания номеров.
Коротко последовательность (1) будем обозначать {
x
n
}.
Часто переменную
x, принимающую последовательность
значений вида (1), называют вариантой.
Примеры последовательностей:
1)
1
1
1
2
1
3n
=
, , ,... ,
2)
=−
1
1
1
2
1
3n
, , ,... ,
3)
( ) , , ,...
=−
+
1
1
1
1
2
1
3
1n
n
,
4)
n
n
=
1
0
1
2
2
3
,,,...,
5)
()
{
}
{
}
−=11111
n
,, ,,... ,
6) x
n
= a n - стационарная последовательность.
Определение. Число а называется пределом последо-
вательности {x
n
}, если
ε
>0
Ν
=
Ν
(
ε
) такое, что при всех