Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 11 стр.

       1) Если β > 0, то неравенство α π β эквивалентно                 Переменная величина x считается заданной, если
двойному неравенству: -β < α < β.                                указано множество X={x} значений, которые она может
          В самом деле, если α π β , то α < β и -α < β, т.е. α   принять. Постоянную величину можно рассматривать как
                                                                 частный случай переменной: ее множество значений состо-
>-β; значит, -β < α < β. Обратно, если α < β и α > -β, то име-   ит из одного элемента. При введении понятия предела пе-
ем одновременно: α < β и -α < β, т.е. α π β .                    ременной величины x недостаточно знать лишь из какого
       1а) α ≤ β ⇔ − β ≤ α ≤ β .                                 числового множества X принимает значения эта перемен-
       2) α + β ≤ α + β .                                        ная, а надо знать также, какие именно значения и в каком
                                                                 порядке она их принимает.
          Это неравенство вытекает из очевидных нера-
                                                                        Пусть дан натуральный ряд чисел: 1, 2, ..., n, .... Если
венств: − α ≤ α ≤ α и − β ≤ β ≤ β , складывая которые            каждому n по какому-либо закону сопоставить некоторое
почленно, получаем: − ( α + β ) ≤ α + β ≤ α + β , откуда, в      действительное число xn, то получаем так называемую чи-
силу 1а), получаем требуемое.                                    словую последовательность: x1, x2, ..., xn, ...(1), члены или
                                                                 элементы которой xn занумерованы всеми натуральными
       2а) α − β ≤ α + β .                                       числами и расположены в порядке возрастания номеров.
       Это следует из 2), если в нем β заменить на -β.           Коротко последовательность (1) будем обозначать {xn}.
       3) α − β ≥ α − β .                                        Часто переменную x, принимающую последовательность
                                                                 значений вида (1), называют вариантой.
       Т.к. α = (α + β) - β, то в силу 2а), α ≤ α + β + β ,             Примеры последовательностей:
откуда и следует требуемое.                                                 1  1 1 
      3а) α − β ≥ α − β .                                               1)   = 1, , ,... ,
                                                                            n   2 3 
        Вытекает из 3) с помощью замены β на -β.                             1            1 1 
      4) α + β ≥ β − α .                                                2) −  = − 1,− ,− ,... ,
                                                                             n            2 3 
        Т.к. β = (α + β) - α то в силу 2а), β ≤ α + β + α ,                           1  1 1 
                                                                        3) ( −1) n + 1  = 1,− , ,... ,
откуда следует требуемое.                                                             n  2 3 
      4а) α − β ≥ β − α .                                                   n − 1  1 2 
                                                                        4)         = 0, , ,... ,
         Получается из 4), если в нем β заменить на -β.                     n   2 3 
      5) α − β ≥ α − β .                                                   {       }
                                                                        5) ( − 1) n = {− 11    , ,...} ,
                                                                                          , ,−11
Это следует из 3а) и 4а) с учетом 1а).                                 6) xn = a ∀ n - стационарная последовательность.
                                                                       Определение. Число а называется пределом последо-
               2. Теория пределов.                               вательности {xn}, если ∀ε>0 ∃Ν=Ν(ε) такое, что при всех
2.1. Числовая последовательность и её предел