Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 12 стр.

n>N выполняется неравенство xn − a < ε        (2), при этом                                 n −1
                                                                      2) Покажем, что lim        = 1, неравенство
будем писать lim xn = lim xn = a или xn → а и говорить, что                                   n
                   n →∞                                        n −1      1
последовательность {xn} (или варианта x = xn) стремится             − 1 = < ε будет выполнено при всех n > N, где
                                                                 n       n
(сходится) к числу а.
                                                                   1
        Неравенство (2), очевидно, эквивалентно двойному       N=  .
неравенству а-ε < xn < a+ε, которое геометрически означа-          ε 
ет, что точка (число) xn принадлежит интервалу (а-ε, а+ε). В           3) Пусть xn = n a (а>1). Докажем, что lim xn =1. Для
дальнейшем этот интервал будем называть ε - окрестностью       доказательства воспользуемся неравенством Бернулли:
точки а и обозначать Uε(a). Поэтому на геометрическом          (1+х)n > 1+nx ∀x>0, в котором положим x = n a − 1, тогда
языке определение предела можно сформулировать таким                                                  a −1
образом: варианта x = xn имеет пределом число (точку) а,       a > 1 + n( n a − 1) , откуда n a − 1 <      , поэтому неравенст-
                                                                                                        n
если ∀ε > 0 ∃Ν = Ν(ε) такое, что при всех n>N xn ∈ Uε(a). А
это означает то, что каково бы ни было мало ε > 0, вне Uε(a)   во   x n − 1 = n a − 1 < ε будет выполнено при n > N =
если есть точки, изображающие члены последовательности          a − 1
{xn}, то их конечное число.                                     ε  .
        Примеры.
        1) Легко проверить, что последовательности 1)-3)
                                          1                            2.2. Простейшие свойства сходящихся
стремятся к 0. Возьмем, например, xn = , ясно, что при                         последовательностей
                                          n
                                                                       Сходящимися будем называть последовательности
     1            1                                   1
n>       xn − 0 = < ε , так что можно положить N=   *) .     {xn}, для которых существует конечный lim xn = a.
     ε            n                                   n              1. Сходящаяся последовательность ограничена.
Отличаются эти последовательности друг от друга тем, что               Доказательство: Пусть lim xn = a. Тогда для ε = 1
все члены первой последовательности больше предельного         найдется N(1) такое, что для n > N(1) будет выполняться не-
значения, все члены второй - меньше, а третья последова-
                                                               равенство x n − a < 1, тогда, в силу 1а) (§2.7), x n < a + 1.
тельность характерна тем, что ее члены попеременно стано-
вятся то больше, то меньше предела.                                                     {                 }
                                                               Если положить М = max x1 ,..., x n , a + 1 , то для всех
                                                               n = 1, 2,... будет выполнено неравенство x n ≤ M , т.е. по-
                                                               следовательность {xn} ограничена.
                                                                      Замечание. Обратное, вообще говоря, неверно. На-
                                                               пример, x n = ( −1) n + 1 .
*)
     Символ [a] означает целую часть числа.