Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 12 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

n>N выполняется неравенство xa
n
−<
ε
(2), при этом
будем писать lim lim
n
nn
xxa
→∞
== или x
n
а и говорить, что
последовательность {x
n
} (или варианта x = x
n
) стремится
(сходится) к числу а.
Неравенство (2), очевидно, эквивалентно двойному
неравенству а-
ε
< x
n
< a+
ε
, которое геометрически означа-
ет, что точка (число) x
n
принадлежит интервалу (а-
ε
, а+
ε
). В
дальнейшем этот интервал будем называть
ε
- окрестностью
точки а и обозначать U
ε
(a). Поэтому на геометрическом
языке определение предела можно сформулировать таким
образом: варианта x = x
n
имеет пределом число (точку) а,
если
ε
> 0
Ν
=
Ν
(
ε
) такое, что при всех n>N x
n
U
ε
(a). А
это означает то, что каково бы ни было мало
ε
> 0, вне U
ε
(a)
если есть точки, изображающие члены последовательности
{x
n
}, то их конечное число.
Примеры.
1) Легко проверить, что последовательности 1)-3)
стремятся к 0. Возьмем, например,
x
n
n
=
1
, ясно, что при
n >
1
ε
x
n
n
−=<0
1
ε
, так что можно положить N=
1
n
*)
.
Отличаются эти последовательности друг от друга тем, что
все члены первой последовательности больше предельного
значения, все члены второй - меньше, а третья последова-
тельность характерна тем, что ее члены попеременно стано-
вятся то больше, то меньше предела.
*)
Символ [a] означает целую часть числа.
2) Покажем, что lim
n
n
=
1
1, неравенство
n
nn
−= <
1
1
1
ε
будет выполнено при всех n > N, где
N =
1
ε
.
3) Пусть
xa
n
n
=
(а>1). Докажем, что lim x
n
=1. Для
доказательства воспользуемся неравенством Бернулли:
(1+х)
n
> 1+nx x>0, в котором положим xa
n
=−1, тогда
ana
n
>+ 11(), откуда
a
a
n
n
−<
1
1
, поэтому неравенст-
во
xa
n
n
−= −<11
ε
будет выполнено при n > N =
a
1
ε
.
2.2. Простейшие свойства сходящихся
последовательностей
Сходящимися будем называть последовательности
{x
n
}, для которых существует конечный lim x
n
= a.
1.
Сходящаяся последовательность ограничена.
Доказательство: Пусть lim x
n
= a. Тогда для
ε
= 1
найдется N(1) такое, что для n > N(1) будет выполняться не-
равенство
xa
n
−<1, тогда, в силу 1а) (§2.7), xa
n
<+1.
Если положить М = max
{
}
xxa
n1
1,..., , + , то для всех
n = 1, 2,... будет выполнено неравенство
xM
n
, т.е. по-
следовательность {x
n
} ограничена.
Замечание. Обратное, вообще говоря, неверно. На-
пример,
x
n
n
=−
+
()1
1
.