Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

Действительно, ∃M>0 такое, что ∀n |x
n
|≤M. Возьмем
произвольное
ε
> 0. Тогда можно подобрать N=N(
ε
) такое,
что при n>N
α
ε
n
M
< и xx M
M
nn n n
αα
ε
ε
=<=, т.е.
x
n
α
n
- бесконечно малая.
4.
Сумма любого конечного числа бесконечно малых
есть также бесконечно малая.
Доказательство. Ясно, что достаточно доказать для
двух слагаемых. Пусть
α
n
,
β
n
- бесконечно малые. Тогда ∀
ε
> 0 найдутся N
/
= N
/
(ε) и N
//
= N
//
(ε) такие, что при n>N
/
α
ε
n
<
2
и при n>N
//
β
ε
n
<
2
. Если взять N = max{ N
/
,N
//
},
то при n>N |
α
n
+
β
n
| ≤ |
α
n
|+|
β
n
| <
ε
, что и требовалось дока-
зать.
2.4. Свойства пределов
1. Если x
n
=C ∀n, то lim x
n
= C.
2.
Если lim x
n
= a, lim y
n
= b, то lim (x
n
±y
n
)=a±b (1),
lim (x
n
y
n
)=ab (2).
Доказательство. x
n
=a+
α
n
, y
n
=b+
β
n
, где
α
n
,
β
n
- бес-
конечно малые. Тогда x
n
±y
n
=(a±b)+(
α
n
±
β
n
) ⇒ (1),
x
n
y
n
=ab+(a
β
n
+b
α
n
+
α
n
β
n
) ⇒ (2).
3.
Пусть lim x
n
= a, lim y
n
= b, причем y
n
≠0, b≠0, то-
гда
lim
x
y
a
b
n
n
= .
Доказательство. Так как lim y
n
≠ 0, то при доста-
точно больших n |y
n
| > r >0. При таких n имеем
x
y
a
b
a
b
a
bby
ba
n
n
n
nn
nn
−=
+
+
−= −
α
β
αβ
1
().
1
by
n
- ограниченная
варианта, так как
111
by
by
br
n
n
=<, b
α
n
-a
β
n
- бесконечно
малая, значит
x
y
a
b
n
n
− - бесконечно малая, поэтому
lim
x
y
a
b
n
n
=
.
4.
Если ∀n x
n
≤y
n
и lim x
n
= a, lim y
n
= b, то а≤b.
Доказательство. Допустим, что a>b. Возьмем r:
a>r>b. Тогда ∃ N
/
: при n> N
/
x
n
>r, в то же время ∃ N
//
: при
n> N
//
y
n
<r и если положить N = max{ N
/
,N
//
}, то при n>N
будут одновременно выполняться неравенства x
n
>r и y
n
<r,
откуда x
n
>y
n
, что противоречит условию.
Замечание. Если бы в условии было x
n
< y
n
(вместо
x
n
≤
y
n
), то все равно можно утверждать только, что a
≤
b.
Например,
x
n
n
n
=
−
1
,
y
n
n
n
=
+
1
, x
n
< y
n
, lim x
n
= lim y
n
= 1.
5.
Если ∀n x
n
≤ y
n
≤ z
n
и lim x
n
= lim z
n
= a, то
lim y
n
= a.
Доказательство. Взяв
ε
> 0, можно найти N
/
: при
n> N
/
x
n
>a-
ε
и N
//
: при n> N
//
z
n
<a+
ε
. Тогда при n>N=max{
N
/
,N
//
} a-
ε
< x
n
≤ y
n
≤ z
n
< a+
ε
, откуда | y
n
-a|<
ε
, что и требо-
валось доказать.
Следствие. Если ∀n a
≤ x
n
≤ y
n
и lim y
n
=a, то
lim x
n
= a.
Замечание. Свойства 4, 5 распространяются на слу-
чай бесконечных пределов. 
      Действительно, ∃M>0 такое, что ∀n |xn|≤M. Возьмем                xn a a + α n a       1                  1
                                                                         − =          − =      (bα n − aβn ).     - ограниченная
произвольное ε > 0. Тогда можно подобрать N=N(ε) такое,                yn b b + βn b by n                     byn
                         ε                             ε
что при n>N      αn <    и x nα n = x n α n < M   = ε , т.е.                             1      1       1
                     M                          M                     варианта, так как     =        <    , bαn -aβn - бесконечно
                                                                                        byn   b yn     br
xnαn - бесконечно малая.
                                                                                         xn a
       4. Сумма любого конечного числа бесконечно малых               малая, значит        −        - бесконечно малая, поэтому
                                                                                         yn b
есть также бесконечно малая.                                               x     a
                                                                      lim n = .
       Доказательство. Ясно, что достаточно доказать для                   yn b
двух слагаемых. Пусть αn, βn - бесконечно малые. Тогда ∀ ε                    4. Если ∀n xn≤yn и lim xn = a, lim yn = b, то а≤b.
> 0 найдутся N/ = N/(ε) и N// = N//(ε) такие, что при n>N/                    Доказательство. Допустим, что a>b. Возьмем r:
       ε                        ε                                     a>r>b. Тогда ∃ N/ : при n> N/ xn>r, в то же время ∃ N// : при
αn <       и при n>N//   βn <       . Если взять N = max{ N/ ,N//},   n> N// ynN
      2                     2
то при n>N |αn+βn| ≤ |αn|+|βn| < ε, что и требовалось дока-           будут одновременно выполняться неравенства xn>r и ynyn, что противоречит условию.
                                                                              Замечание. Если бы в условии было xn < yn (вместо
                                                                      xn ≤ yn), то все равно можно утверждать только, что a ≤ b.
                  2.4. Свойства пределов                                                 n −1         n +1
                                                                      Например, xn =           , yn =      , xn < yn, lim xn= lim yn = 1.
                                                                                           n            n
       1. Если xn=C ∀n, то lim xn = C.                                        5. Если ∀n xn ≤ yn ≤ zn и lim xn = lim zn = a, то
                                                                      lim yn = a.
        2. Если lim xn = a, lim yn = b, то lim (xn±yn)=a±b (1),               Доказательство. Взяв ε > 0, можно найти N/: при
lim (xnyn)=ab (2).                                                    n> N/ xn>a-ε и N// : при n> N// znN=max{
        Доказательство. xn=a+αn, yn=b+βn, где αn, βn - бес-           N/ ,N//} a-ε < xn ≤ yn ≤ zn< a+ε, откуда | yn -a|< ε, что и требо-
конечно малые. Тогда xn±yn=(a±b)+(αn±βn) ⇒ (1),                       валось доказать.
xnyn=ab+(aβn+bαn+αnβn) ⇒ (2).                                                 Следствие. Если ∀n a ≤ xn ≤ yn и lim yn =a, то
        3. Пусть lim xn = a, lim yn = b, причем yn≠0, b≠0, то-        lim xn = a.
         x    a                                                               Замечание. Свойства 4, 5 распространяются на слу-
гда lim n = .
         yn b                                                         чай бесконечных пределов.
        Доказательство. Так как lim yn ≠ 0, то при доста-
точно больших n |yn| > r >0. При таких n имеем

Страницы