Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 14 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

Действительно, M>0 такое, что n |x
n
|M. Возьмем
произвольное
ε
> 0. Тогда можно подобрать N=N(
ε
) такое,
что при n>N
α
ε
n
M
< и xx M
M
nn n n
αα
ε
ε
=<=, т.е.
x
n
α
n
- бесконечно малая.
4.
Сумма любого конечного числа бесконечно малых
есть также бесконечно малая.
Доказательство. Ясно, что достаточно доказать для
двух слагаемых. Пусть
α
n
,
β
n
- бесконечно малые. Тогда
ε
> 0 найдутся N
/
= N
/
(ε) и N
//
= N
//
(ε) такие, что при n>N
/
α
ε
n
<
2
и при n>N
//
β
ε
n
<
2
. Если взять N = max{ N
/
,N
//
},
то при n>N |
α
n
+
β
n
| |
α
n
|+|
β
n
| <
ε
, что и требовалось дока-
зать.
2.4. Свойства пределов
1. Если x
n
=C n, то lim x
n
= C.
2.
Если lim x
n
= a, lim y
n
= b, то lim (x
n
±y
n
)=a±b (1),
lim (x
n
y
n
)=ab (2).
Доказательство. x
n
=a+
α
n
, y
n
=b+
β
n
, где
α
n
,
β
n
- бес-
конечно малые. Тогда x
n
±y
n
=(a±b)+(
α
n
±
β
n
) (1),
x
n
y
n
=ab+(a
β
n
+b
α
n
+
α
n
β
n
) (2).
3.
Пусть lim x
n
= a, lim y
n
= b, причем y
n
0, b0, то-
гда
lim
x
y
a
b
n
n
= .
Доказательство. Так как lim y
n
0, то при доста-
точно больших n |y
n
| > r >0. При таких n имеем
x
y
a
b
a
b
a
bby
ba
n
n
n
nn
nn
−=
+
+
−=
α
β
αβ
1
().
1
by
n
- ограниченная
варианта, так как
111
by
by
br
n
n
=<, b
α
n
-a
β
n
- бесконечно
малая, значит
x
y
a
b
n
n
- бесконечно малая, поэтому
lim
x
y
a
b
n
n
=
.
4.
Если n x
n
y
n
и lim x
n
= a, lim y
n
= b, то аb.
Доказательство. Допустим, что a>b. Возьмем r:
a>r>b. Тогда N
/
: при n> N
/
x
n
>r, в то же время N
//
: при
n> N
//
y
n
<r и если положить N = max{ N
/
,N
//
}, то при n>N
будут одновременно выполняться неравенства x
n
>r и y
n
<r,
откуда x
n
>y
n
, что противоречит условию.
Замечание. Если бы в условии было x
n
< y
n
(вместо
x
n
y
n
), то все равно можно утверждать только, что a
b.
Например,
x
n
n
n
=
1
,
y
n
n
n
=
+
1
, x
n
< y
n
, lim x
n
= lim y
n
= 1.
5.
Если n x
n
y
n
z
n
и lim x
n
= lim z
n
= a, то
lim y
n
= a.
Доказательство. Взяв
ε
> 0, можно найти N
/
: при
n> N
/
x
n
>a-
ε
и N
//
: при n> N
//
z
n
<a+
ε
. Тогда при n>N=max{
N
/
,N
//
} a-
ε
< x
n
y
n
z
n
< a+
ε
, откуда | y
n
-a|<
ε
, что и требо-
валось доказать.
Следствие. Если n a
x
n
y
n
и lim y
n
=a, то
lim x
n
= a.
Замечание. Свойства 4, 5 распространяются на слу-
чай бесконечных пределов.