Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 16 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

2) Вычислить
[
]
kk
nnA += )1(lim , если 0 < k < 1.
k
k
k
kkk
nn
n
n
nnn
=
+<
+=+<
1
1
1
1
11
1
1)1(0. Так
как
0
1
lim
1
=
k
n
, то по свойству 5 А = 0.
3)
2
1
1
1
1
1
lim
1
lim
1
)1)(1(
lim)1(lim
=
++
=
++
=
=
++
+++
=+
n
nn
n
nn
nnnn
nnnn
4) Вычислить
=
+
=
n
i
in
A
1
2
1
. Обозначим
nn
n
x
n
+
=
2
,
1
2
+
=
n
n
z
n
,
nnnnin
y
n
i
n
+
++
+
+
+
=
+
=
=
222
1
2
1
2
1
1
11
Κ . Ясно,
что
nnn
zyx
и 1limlim
=
=
nn
zx , поэтому А = lim y
n
= 1.
5) Вычислить
k
n
n
a
lim , если a > 1, k > 0. положим
λ
+
=
1a ,
тогда
()
22
2
)1(
2
)1(
11
λλλλ
>+
++=+=
nnnn
na
n
n
Κ ; при n
> 2
2
1
n
n > и
2
2
4
)1(
n
a
a
n
> ; при k = 1
n
a
n
a
n
a
n
k
n
4
)1(
2
>= ,
+∞=
n
a
n
lim , при k < 1
+∞=>
k
nn
k
n
n
a
n
a
n
a
lim , если k >1, то
() ()
+∞=>
=
k
n
n
k
k
n
k
k
n
n
a
n
a
n
a
n
a
lim
11
. Таким образом, при
всех k > 0, a > 1
+∞=
k
n
n
a
lim .
При раскрытии неопределенностей вида
часто
бывает полезна
теорема Штольца: Пусть +∞
nn
yx ,,
причем у
n+1
> y
n
. Тогда
1
1
limlim
=
nn
nn
n
n
yy
xx
y
x
, если предел в
правой части равенства существует.
Доказательство. Предположим вначале, что
l
yy
xx
nn
nn
=
1
1
lim
. Тогда
ε
>0 N такое, что при n > N
2
1
1
ε
<
l
yy
xx
nn
nn
или
2
ε
<
l
yy
xx
Nn
Nn
. Рассмотрим разность
l
y
x
n
n
и преобразуем ее:
+
+
=
+
+
=
n
nN
n
NN
n
NNNNnn
n
n
y
yyl
y
lyx
y
lylyxxlyx
l
y
x )(
+
=
+ l
yy
xx
y
x
y
lyx
y
yy
yy
xx
Nn
Nn
n
n
n
NN
n
Nn
Nn
Nn
1
ε
<
+
l
yy
xx
y
lyx
l
y
x
Nn
Nn
n
NN
n
n
при n > N
/
, где N
/
> N
таково, что
2
ε
<
n
NN
y
lyx
. Таким образом,
l
y
x
n
n
=lim
.