Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 16 стр.

                           [                   ]
2) Вычислить A = lim (n + 1) k − n k , если 0 < k < 1.                             an an
                                                                                      >   ⇒ lim
                                                                                                an
                                                                                                   = +∞ ,                   если      k      >1,      то
                            k
                                       1                                      nk   n       nk
                    k    1                          1
0 < (n + 1) − n = n 1 +  − 1 < n k 1 +  − 1 = 1−k . Так
           k   k

                                                                                          ( )  > (a )
                                                                                                         k
                                                                                   a n  a1 k
                                                                                                n            1k n
                      n           n   n
                                                                                      =                            ⇒ lim
                                                                                                                            an
                                                                                                                               = +∞ . Таким образом, при
           1                                                                       n k  n                n              nk
как lim 1−k = 0 , то по свойству 5 А = 0.
         n                                                                                                    an
3)                                                                                 всех k > 0, a > 1 lim         = +∞ .
                                                                                                              nk
                               ( n + 1 − n )( n + 1 + n )                                                                                ∞
 lim n ( n + 1 − n ) = lim n                                =                              При раскрытии неопределенностей вида   часто
                                         n +1 + n                                                                                        ∞
                  n                    1               1                           бывает полезна теорема Штольца: Пусть xn , y n → +∞ ,
 = lim                   = lim                     =
              n +1 + n                 1               2                                                          x     x − xn−1
                                  1+     +1                                        причем уn+1 > yn. Тогда lim n = lim n            , если предел в
                                       n                                                                          yn    y n − y n−1
                            n
                                   1                                   n           правой части равенства существует.
4) Вычислить          A=∑                  . Обозначим         xn =            ,           Доказательство. Предположим вначале, что
                           i =1   n2 + i                              n2 + n
                                                                                       xn − xn−1
              n                                                                    lim             = l . Тогда ∀ε>0 ∃N такое, что при n > N
zn =              ,                                                                    y n − y n−1
         n2 +1
                                                                                    xn − xn−1       ε    x − xN        ε
        n
             1             1               1               1                                   − l < или n        − l < . Рассмотрим разность
yn = ∑             =          +            +Κ +           .    Ясно,                yn − y n−1      2    yn − y N      2
          n2 + i
       i =1            n2 + 1    n2 + 2           n2 + n
                                                                                   xn
что xn ≤ y n ≤ z n и lim xn = lim z n = 1 , поэтому А = lim yn = 1.                   − l и преобразуем ее:
                                                                                   yn
                       an
5) Вычислить lim k , если a > 1, k > 0. положим a = 1 + λ ,                        xn       x − lyn + xN − xN + ly N − ly N xN − ly N l ( y N − yn )
                       n                                                              −l = n                               =         +               +
                                                                                   yn                    yn                    yn            yn
                                n(n − 1) 2        n(n − 1) 2
тогда a n = (1 + λ ) = 1 + nλ +         λ +Κ >            λ ; при n
                    n

                                    2                2                               xn − xN yn − y N      x − ly N        x  x − xN         
                                                                                   +          ⋅         = N          + 1 − n  n      − l  ⇒
                    n                 (a − 1) 2 2                                    yn − y N     yn          yn           yn  yn − y N      
> 2        n −1 >         и     a >
                                  n
                                               n ; при k = 1
                    2                    4                                             x         x − ly N     x − xN
                                                                                   ⇒ n −l ≤ N              + n         − l < ε при n > N/, где N/ > N
 a n a n (a − 1) 2              an                                                     yn           yn        yn − y N
    =    >            n ,   lim     = +∞ ,      при    k     <    1
 nk   n        4                 n                                                              x − ly N ε                            x
                                                                                   таково, что N          < . Таким образом, lim n = l .
                                                                                                   yn       2                         yn