Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 17 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

Пусть теперь +∞=
1
1
lim
nn
nn
xy
xx
. Тогда при достаточ-
но больших n
11
>
nnnn
yyxx , значит, варианта
n
x воз-
растает, и применив теорему к
n
n
x
y
, так как
0lim
1
1
=
nn
nn
xx
yy
,
получим, что
0lim =
n
n
x
y
, откуда
=
n
n
y
x
lim
, что и требова-
лось доказать.
Рассмотрим еще
примеры.
6) Вычислить
)1(
log
lim >= a
n
n
A
a
. Полагая nx
an
log
=
,
ny
n
= , получаем:
01log
1
loglim
)1(
)1(loglog
lim ==
=
=
aa
aa
n
n
nn
nn
A .
6)
Пусть aa
n
=lim . Найдем
n
blim , где
n
aaa
b
n
n
++
+
=
Κ
21
. Положим
nn
aaax ++
+
=
Κ
21
, ny
n
=
, тогда
aa
nn
aaaaaa
b
n
nn
n
==
+
+
+
+++
=
lim
)1(
)()(
lim
12121
Κ
Κ
.
8) Вычислить
)(
21
lim
1
Nk
n
n
A
k
kkk
+++
=
+
Κ
. Пола-
гая
kkk
n
nx +++21,
1+
=
k
n
ny , получаем:
11
)1(
lim
++
=
kk
k
nn
n
A
. Так как
Κ++=
++ kkk
nknn )1()1(
11
, то
1
1
)1(
lim
+
=
++
=
knk
n
A
k
k
Κ
.
2.6. Монотонные последовательности
Числовая последовательность {x
n
} (варианта x
n
) на-
зывается возрастающей (убывающей), если n x
n+1
> x
n
(x
n+1
< x
n
). Аналогично вводятся понятия невозрастающей и не-
убывающей вариант. Варианта называется монотонной, ес-
ли она является либо возрастающей, либо убывающей, либо
невозрастающей, либо неубывающей.
Теорема. Неубывающая (не являющаяся стационар-
ной) ограниченная сверху варианта x
n
сходится. Если не-
убывающая варианта x
n
не ограничена сверху, то lim x
n
=
+
. Аналогично, невозрастающая ограниченная снизу вари-
анта имеет конечный предел, а если невозрастающая вари-
анта не ограничена снизу, то lim x
n
= –
.
Доказательство. Пусть x
n
неубывающая ограни-
ченная сверху варианта. Тогда множество ее значений {x
n
}
имеет верхнюю грань а = sup{x
n
}. Значит, для всех n x
n
a и
ε
> 0 найдется номер N, такой, что x
N
> a-
ε
, а, в силу не-
убывания x
n
, при n > N x
n
> x
N
, значит, при n > N |x
N
a| <
ε
,
т.е. lim x
n
=а. Если x
n
не ограничена сверху, то какое бы чис-
ло
ε
> 0 ни взять, найдется по крайней мере одно значение
x
N
, большее
ε
, а так как x
n
неубывающая варианта, то при
n > N x
n
>
ε
, значит, lim x
n
= +
. Теорема доказана.
Примеры.
1) Пусть
!n
c
x
n
n
= (с > 0). Ясно, что
1)!1(
1
1
+
=
+
=
+
+
n
c
x
n
c
x
n
n
n
(1)