Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 17 стр.

                                 xn − xn−1                                                (n − 1) k +1 = n k +1 − (k + 1)n k + Κ , то
        Пусть теперь lim                     = +∞ . Тогда при достаточ-
                                 y n − xn−1                                                               nk         1
                                                                                          A = lim                =      .
но больших n xn − xn−1 > yn − y n−1 , значит, варианта xn воз-                                      (k + 1)n + Κ
                                                                                                             k
                                                                                                                   k +1
                                           y                     y − y n−1
растает, и применив теорему к n , так как lim n                             =0,
                                           xn                    xn − xn−1                          2.6. Монотонные последовательности
                        y                          x                                              Числовая последовательность {xn} (варианта xn) на-
получим, что lim n = 0 , откуда lim n = ∞ , что и требова-                                зывается возрастающей (убывающей), если ∀n xn+1 > xn (xn+1
                        xn                         yn
                                                                                          < xn). Аналогично вводятся понятия невозрастающей и не-
лось доказать.                                                                            убывающей вариант. Варианта называется монотонной, ес-
         Рассмотрим еще примеры.                                                          ли она является либо возрастающей, либо убывающей, либо
                                log a n                                                   невозрастающей, либо неубывающей.
6) Вычислить A = lim                     (a > 1) . Полагая xn = log a n ,
                                   n                                                              Теорема. Неубывающая (не являющаяся стационар-
 y n = n , получаем:                                                                      ной) ограниченная сверху варианта xn сходится. Если не-
           log a n − log a (n − 1)                 n                                      убывающая варианта xn не ограничена сверху, то lim xn =
  A = lim                          = lim log a         = log a 1 = 0 .                    +∞. Аналогично, невозрастающая ограниченная снизу вари-
                 n − (n − 1)                    n −1
                                                                                          анта имеет конечный предел, а если невозрастающая вари-
          6) Пусть         lim a n = a .      Найдем           lim bn ,      где
                                                                                          анта не ограничена снизу, то lim xn = –∞.
                    a + a2 + Κ + an                                                               Доказательство. Пусть xn – неубывающая ограни-
              bn = 1                    .                           Положим
                             n                                                            ченная сверху варианта. Тогда множество ее значений {xn}
              xn = a1 + a2 + Κ + an ,                 yn = n ,           тогда            имеет верхнюю грань а = sup{xn}. Значит, для всех n xn ≤ a и
                        (a + a2 + Κ + an ) − (a1 + a2 + Κ + an−1 )                        ∀ε > 0 найдется номер N, такой, что xN > a-ε, а, в силу не-
              lim bn = 1                                                   = lim an = a   убывания xn, при n > N xn > xN, значит, при n > N |xN – a| <ε,
                                          n − (n − 1)
                                                                                          т.е. lim xn=а. Если xn не ограничена сверху, то какое бы чис-
             .
                                                                                          ло ε > 0 ни взять, найдется по крайней мере одно значение
                                       1k + 2 k + Κ + n k
          8) Вычислить A = lim                               (k ∈ N ) . Пола-             xN , большее ε, а так как xn – неубывающая варианта, то при
                                               n k +1                                     n > N xn > ε, значит, lim xn = +∞. Теорема доказана.
гая         xn = 1k + 2 k + Κ + n k ,         y n = n k +1 ,        получаем:
                   nk                                                                           Примеры.
A = lim                         . Так как
          n k +1 − (n − 1) k +1                                                                         cn
                                                                                          1) Пусть xn =       (с > 0). Ясно, что
                                                                                                        n!
                                                                                                                 c n +1          c
                                                                                                       xn +1 =          = xn ⋅                (1)
                                                                                                               (n + 1)!        n +1