Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 19 стр.

m произвольны, то при любом n будет выполняться нера-                      Если последовательность {xn} не имеет предела, то
венство an ≤ c ≤ bn, т.е. с ∈σn ∀n.                                она может иметь сходящиеся подпоследовательности. На-
       Покажем, что найденная точка с – единственная,              пример, варианта xn= (-1)n+1 не имеет предела, но варианты
удовлетворяющая сформулированному свойству. Пусть су-              x2k-1 = 1 и x2k = -1, являющиеся подпоследовательностями,
ществует другая точка с/ ∈σn ∀n. Тогда an ≤ c ≤ bn и an ≤ c/ ≤     имеют пределы, равные 1 и –1 соответственно.
bn, откуда bn - an ≥ |c/ - c| ∀n, а это противоречит условию: dn           Из любой ли последовательности действительных
→ 0, что и требовалось доказать.                                   чисел можно извлечь сходящуюся подпоследовательность?
       Замечание. Доказанная лемма часто используется в            Ясно, что если последовательность {xn} не ограничена
другой формулировке: Пусть {xn} – неубывающая, {yn} –              сверху (снизу), то она, очевидно, содержит подпоследова-
невозрастающая последовательности, причем ∀n xn < yn и,            тельность, стремящуюся к +∞ (-∞). Положительный ответ
по крайней мере, одна из этих последовательностей имеет            можно дать и в случае ограниченной последовательности.
общий конечный предел: с = lim xn = lim yn.                                Теорема Больцано – Вейерштрасса. Из любой ог-
                                                                   раниченной последовательности {xn} можно извлечь под-
         2.8. Подпоследовательности, верхний                       последовательность {xn}, имеющую конечный предел, кото-
                                                                   рый называется частичным пределом.
                  и нижний пределы                                         Доказательство. Так как {xn} – ограниченная по-
       Пусть дана числовая последовательность {xn}, выбе-          следовательность, то все числа, ее составляющие, заключе-
рем из ее членов бесконечное множество элементов с номе-           ны между некоторыми числами a и b. Разделим отрезок [a,
рами n1< n2 < n3 < … < nk < nk+1 <…, эти элементы образуют         b] пополам, тогда хотя бы в одной половине будет содер-
новую последовательность {xnk } (k = 1, 2, …), которая на-         жаться бесконечное множество элементов данной последо-
зывается частичной последовательностью или подпоследо-             вательности. Обозначим эту половину [a1, b1] (если в обеих
вательностью последовательности {xn}.                              половинах содержится бесконечное множество элементов
       Теорема. Если последовательность {xn} имеет предел          из {xn}, то любую из них). Отрезок [a1, b1] также делим по-
(конечный или бесконечный), то любая ее подпоследова-              полам и обозначим через [a2, b2] ту из половин, которая со-
тельность имеет тот же предел.                                     держит бесконечное множество элементов из {xn} и т. д.
       Доказательство. Пусть lim xn = а, где а – конечное          Продолжая этот процесс до бесконечности, на k-м шагу по-
число. Тогда ∀ε > 0 можно найти такое N, что при n > N |xn         лучим отрезок [ak, bk], содержащий бесконечное множество
– a| <ε. Так как nk→ ∞, то найдется K такое, что при k > K         элементов из {xn}. Ясно, что длина k-го отрезка равна
будет выполняться неравенство: nk > N. Тогда при таких k                     b−a
                                                                   bk − ak = k , которая стремится к нулю при k → ∞. Тогда
будет выполняться и неравенство: xnk − a < ε , т. е.                          2
                                                                   по лемме о вложенных отрезках lim ak = lim bk= c.
lim xnk = a . Точно так же можно убедиться в том, что если
                                                                           Построим теперь подпоследовательность {xnk } , схо-
lim xn = ∞, то и lim xn = ∞.
                                                                   дящуюся к с, следующим образом. В качестве xn1 возьмем