Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 19 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

m произвольны, то при любом n будет выполняться нера-
венство a
n
c b
n
, т.е. с
σ
n
n.
Покажем, что найденная точка сединственная,
удовлетворяющая сформулированному свойству. Пусть су-
ществует другая точка с
/
σ
n
n. Тогда a
n
c b
n
и a
n
c
/
b
n
, откуда b
n
- a
n
|c
/
- c| n, а это противоречит условию: d
n
0, что и требовалось доказать.
Замечание. Доказанная лемма часто используется в
другой формулировке: Пусть {x
n
} – неубывающая, {y
n
} –
невозрастающая последовательности, причем n x
n
< y
n
и,
по крайней мере, одна из этих последовательностей имеет
общий конечный предел: с = lim x
n
= lim y
n
.
2.8. Подпоследовательности, верхний
и нижний пределы
Пусть дана числовая последовательность {x
n
}, выбе-
рем из ее членов бесконечное множество элементов с номе-
рами n
1
< n
2
< n
3
< … < n
k
< n
k+1
<…, эти элементы образуют
новую последовательность
}{
k
n
x (k = 1, 2, …), которая на-
зывается частичной последовательностью или подпоследо-
вательностью последовательности {x
n
}.
Теорема. Если последовательность {x
n
} имеет предел
(конечный или бесконечный), то любая ее подпоследова-
тельность имеет тот же предел.
Доказательство. Пусть lim x
n
= а, где аконечное
число. Тогда
ε
> 0 можно найти такое N, что при n > N |x
n
a| <
ε
. Так как n
k
, то найдется K такое, что при k > K
будет выполняться неравенство: n
k
> N. Тогда при таких k
будет выполняться и неравенство:
ε
< ax
k
n
, т. е.
ax
k
n
=lim . Точно так же можно убедиться в том, что если
lim
x
n
=
, то и lim x
n
=
.
Если последовательность {
x
n
} не имеет предела, то
она может иметь сходящиеся подпоследовательности. На-
пример, варианта
x
n
= (-1)
n+1
не имеет предела, но варианты
x
2k-1
= 1 и x
2k
= -1, являющиеся подпоследовательностями,
имеют пределы, равные 1 и –1 соответственно.
Из любой ли последовательности действительных
чисел можно извлечь сходящуюся подпоследовательность?
Ясно, что если последовательность {
x
n
} не ограничена
сверху (снизу), то она, очевидно, содержит подпоследова-
тельность, стремящуюся к +
(-
). Положительный ответ
можно дать и в случае ограниченной последовательности.
Теорема БольцаноВейерштрасса. Из любой ог-
раниченной последовательности {
x
n
} можно извлечь под-
последовательность {
x
n
}, имеющую конечный предел, кото-
рый называется частичным пределом.
Доказательство. Так как {x
n
} – ограниченная по-
следовательность, то все числа, ее составляющие, заключе-
ны между некоторыми числами
a и b. Разделим отрезок [a,
b
] пополам, тогда хотя бы в одной половине будет содер-
жаться бесконечное множество элементов данной последо-
вательности. Обозначим эту половину [
a
1
, b
1
] (если в обеих
половинах содержится бесконечное множество элементов
из {
x
n
}, то любую из них). Отрезок [a
1
, b
1
] также делим по-
полам и обозначим через [
a
2
, b
2
] ту из половин, которая со-
держит бесконечное множество элементов из {
x
n
} и т. д.
Продолжая этот процесс до бесконечности, на
k-м шагу по-
лучим отрезок [
a
k
, b
k
], содержащий бесконечное множество
элементов из {
x
n
}. Ясно, что длина k-го отрезка равна
k
kk
ab
ab
2
= , которая стремится к нулю при k
. Тогда
по лемме о вложенных отрезках lim
a
k
= lim b
k
= c.
Построим теперь подпоследовательность
}{
k
n
x , схо-
дящуюся к
с, следующим образом. В качестве
1
n
x возьмем