ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
m произвольны, то при любом n будет выполняться нера-
венство a
n
≤ c ≤ b
n
, т.е. с ∈
σ
n
∀n.
Покажем, что найденная точка с – единственная,
удовлетворяющая сформулированному свойству. Пусть су-
ществует другая точка с
/
∈
σ
n
∀n. Тогда a
n
≤ c ≤ b
n
и a
n
≤ c
/
≤
b
n
, откуда b
n
- a
n
≥ |c
/
- c| ∀n, а это противоречит условию: d
n
→ 0, что и требовалось доказать.
Замечание. Доказанная лемма часто используется в
другой формулировке: Пусть {x
n
} – неубывающая, {y
n
} –
невозрастающая последовательности, причем ∀n x
n
< y
n
и,
по крайней мере, одна из этих последовательностей имеет
общий конечный предел: с = lim x
n
= lim y
n
.
2.8. Подпоследовательности, верхний
и нижний пределы
Пусть дана числовая последовательность {x
n
}, выбе-
рем из ее членов бесконечное множество элементов с номе-
рами n
1
< n
2
< n
3
< … < n
k
< n
k+1
<…, эти элементы образуют
новую последовательность
}{
k
n
x (k = 1, 2, …), которая на-
зывается частичной последовательностью или подпоследо-
вательностью последовательности {x
n
}.
Теорема. Если последовательность {x
n
} имеет предел
(конечный или бесконечный), то любая ее подпоследова-
тельность имеет тот же предел.
Доказательство. Пусть lim x
n
= а, где а – конечное
число. Тогда ∀
ε
> 0 можно найти такое N, что при n > N |x
n
– a| <
ε
. Так как n
k
→
∞
, то найдется K такое, что при k > K
будет выполняться неравенство: n
k
> N. Тогда при таких k
будет выполняться и неравенство:
ε
<− ax
k
n
, т. е.
ax
k
n
=lim . Точно так же можно убедиться в том, что если
lim
x
n
=
∞
, то и lim x
n
=
∞
.
Если последовательность {
x
n
} не имеет предела, то
она может иметь сходящиеся подпоследовательности. На-
пример, варианта
x
n
= (-1)
n+1
не имеет предела, но варианты
x
2k-1
= 1 и x
2k
= -1, являющиеся подпоследовательностями,
имеют пределы, равные 1 и –1 соответственно.
Из любой ли последовательности действительных
чисел можно извлечь сходящуюся подпоследовательность?
Ясно, что если последовательность {
x
n
} не ограничена
сверху (снизу), то она, очевидно, содержит подпоследова-
тельность, стремящуюся к +
∞
(-
∞
). Положительный ответ
можно дать и в случае ограниченной последовательности.
Теорема Больцано – Вейерштрасса. Из любой ог-
раниченной последовательности {
x
n
} можно извлечь под-
последовательность {
x
n
}, имеющую конечный предел, кото-
рый называется частичным пределом.
Доказательство. Так как {x
n
} – ограниченная по-
следовательность, то все числа, ее составляющие, заключе-
ны между некоторыми числами
a и b. Разделим отрезок [a,
b
] пополам, тогда хотя бы в одной половине будет содер-
жаться бесконечное множество элементов данной последо-
вательности. Обозначим эту половину [
a
1
, b
1
] (если в обеих
половинах содержится бесконечное множество элементов
из {
x
n
}, то любую из них). Отрезок [a
1
, b
1
] также делим по-
полам и обозначим через [
a
2
, b
2
] ту из половин, которая со-
держит бесконечное множество элементов из {
x
n
} и т. д.
Продолжая этот процесс до бесконечности, на
k-м шагу по-
лучим отрезок [
a
k
, b
k
], содержащий бесконечное множество
элементов из {
x
n
}. Ясно, что длина k-го отрезка равна
k
kk
ab
ab
2
−
=− , которая стремится к нулю при k →
∞
. Тогда
по лемме о вложенных отрезках lim
a
k
= lim b
k
= c.
Построим теперь подпоследовательность
}{
k
n
x , схо-
дящуюся к
с, следующим образом. В качестве
1
n
x возьмем
m произвольны, то при любом n будет выполняться нера- Если последовательность {xn} не имеет предела, то венство an ≤ c ≤ bn, т.е. с ∈σn ∀n. она может иметь сходящиеся подпоследовательности. На- Покажем, что найденная точка с – единственная, пример, варианта xn= (-1)n+1 не имеет предела, но варианты удовлетворяющая сформулированному свойству. Пусть су- x2k-1 = 1 и x2k = -1, являющиеся подпоследовательностями, ществует другая точка с/ ∈σn ∀n. Тогда an ≤ c ≤ bn и an ≤ c/ ≤ имеют пределы, равные 1 и –1 соответственно. bn, откуда bn - an ≥ |c/ - c| ∀n, а это противоречит условию: dn Из любой ли последовательности действительных → 0, что и требовалось доказать. чисел можно извлечь сходящуюся подпоследовательность? Замечание. Доказанная лемма часто используется в Ясно, что если последовательность {xn} не ограничена другой формулировке: Пусть {xn} – неубывающая, {yn} – сверху (снизу), то она, очевидно, содержит подпоследова- невозрастающая последовательности, причем ∀n xn < yn и, тельность, стремящуюся к +∞ (-∞). Положительный ответ по крайней мере, одна из этих последовательностей имеет можно дать и в случае ограниченной последовательности. общий конечный предел: с = lim xn = lim yn. Теорема Больцано – Вейерштрасса. Из любой ог- раниченной последовательности {xn} можно извлечь под- 2.8. Подпоследовательности, верхний последовательность {xn}, имеющую конечный предел, кото- рый называется частичным пределом. и нижний пределы Доказательство. Так как {xn} – ограниченная по- Пусть дана числовая последовательность {xn}, выбе- следовательность, то все числа, ее составляющие, заключе- рем из ее членов бесконечное множество элементов с номе- ны между некоторыми числами a и b. Разделим отрезок [a, рами n1< n2 < n3 < … < nk < nk+1 <…, эти элементы образуют b] пополам, тогда хотя бы в одной половине будет содер- новую последовательность {xnk } (k = 1, 2, …), которая на- жаться бесконечное множество элементов данной последо- зывается частичной последовательностью или подпоследо- вательности. Обозначим эту половину [a1, b1] (если в обеих вательностью последовательности {xn}. половинах содержится бесконечное множество элементов Теорема. Если последовательность {xn} имеет предел из {xn}, то любую из них). Отрезок [a1, b1] также делим по- (конечный или бесконечный), то любая ее подпоследова- полам и обозначим через [a2, b2] ту из половин, которая со- тельность имеет тот же предел. держит бесконечное множество элементов из {xn} и т. д. Доказательство. Пусть lim xn = а, где а – конечное Продолжая этот процесс до бесконечности, на k-м шагу по- число. Тогда ∀ε > 0 можно найти такое N, что при n > N |xn лучим отрезок [ak, bk], содержащий бесконечное множество – a| <ε. Так как nk→ ∞, то найдется K такое, что при k > K элементов из {xn}. Ясно, что длина k-го отрезка равна будет выполняться неравенство: nk > N. Тогда при таких k b−a bk − ak = k , которая стремится к нулю при k → ∞. Тогда будет выполняться и неравенство: xnk − a < ε , т. е. 2 по лемме о вложенных отрезках lim ak = lim bk= c. lim xnk = a . Точно так же можно убедиться в том, что если Построим теперь подпоследовательность {xnk } , схо- lim xn = ∞, то и lim xn = ∞. дящуюся к с, следующим образом. В качестве xn1 возьмем
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- …
- следующая ›
- последняя »