Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 21 стр.

взятого ε найдется такое N(ε), что при n, m > N(ε) | xn-xm | <                Если функции f и ϕ заданы на одном и том же мно-
ε/2 (3). Так как nk → 0 при k → ∞, то можно найти такое k1 >           жестве Х, то естественным образом определяются сумма f
K(ε), что nk1 > N (ε ) , поэтому xnk1 − c < ε / 2 . Полагая в (3) m                                                 f
                                                                       +ϕ, разность f –ϕ, произведение f ⋅ϕ, частное . Это новые
= nk1 , получим:                                                                                                          ϕ
                                                                       функции, значения которых выражаются соответственно
xn − c = xn − xnk1 + xnk1 − c ≤ xn − xnk1 + xnk1 − c < ε 2 + ε 2 = ε                                                 f ( x)
                                                                       формулами f (х)+ϕ(х), f (х)–ϕ(х), f (х)⋅ϕ(х),        , х ∈ Х, где в
т. е. lim xn = c .                                                                                                   ϕ ( x)
                                                                       случае частного предполагается, что ϕ(х)≠0 на Х.
             3. Функции одной переменной                                      Пусть f: X→Y, а ϕ: Y→Z, тогда z=ϕ(f(x)) называется
                  3.1. Понятие функции                                 функцией от функции или суперпозицией функций f и ϕ;
        Пусть Х – числовое множество и пусть задан закон,              она определена на Х и отображает X в Z. Возможна более
по которому каждому значению переменной х из Х постав-                 сложная ситуация типа: f: X→Y, ϕ: Y→Z, ψ: Z→U, тогда f:
лено в соответствие одно определенное значение перемен-                X→U, т. е. z=ψ(ϕ(f(x))) и так далее.
ной y, тогда переменная у называется функцией от перемен-                     Важным средством задания функции является гра-
ной х, заданной на Х (обозначение y=f(x), y=ϕ(x), y=y(x) и т.          фик. Пусть на плоскости задана декартова прямоугольная
д.), при этом х – независимая переменная (аргумент), у – за-           система координат Оху, на оси Ох возьмем отрезок [a, b] и
висимая переменная.                                                    построим какую-либо кривую, обладающую свойством: ка-
        Функции могут задаваться, вообще говоря, различ-               кова бы ни была точка x ∈[a, b], прямая, проходящая через
ными способами. В математическом анализе рассматрива-                  нее параллельно оси Оy, пересекает кривую Г в одной точке
ются, как правило, функции, заданные аналитически, т. е. в             М. Такую кривую будем называть графиком. График задает
виде формулы, указывающей на те операции или действия                  на отрезке [a, b] функцию y = f(x) следующим образом: если
над значениями переменной х, которые надо произвести,                  х – произвольная точка отрезка [a, b], то соответствующее
чтобы получить соответствующее значение переменной у.                  значение y = f(x) определяется как ордината точки М. Таким
Кроме аналитического способа существуют также таблич-                  образом, с помощью графика дается вполне определенный
ный и графический способы.                                             закон соответствия между х и y = f(x). Мы задали функцию с
        Пусть дана функция y=f(x) (1). Множество Х всех                                                 помощью          графика        на
значений переменной х, при которых правая часть равенства                                               множестве Х = [a, b]. В
(1) имеет смысл, называется областью определения функ-                                                  других случаях Х может
ции f(x). Множество Y всех значений переменной у таких,                                                 быть                 интервалом,
что y=f(x), где х ∈ Х, называется областью изменения функ-                                              полуинтервалом,               всей
ции f(x), или образом множества Х при отображении f, при                                                действительной осью и т. д.
этом говорят, что функция f отображает X на Y (запись:                                                          Функция на различ-
f(Х)=Y или f: X→Y).                                                                                     ных частях области опреде-