Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 21 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

взятого
ε
найдется такое N(
ε
), что при n, m > N(
ε
) | x
n
-x
m
| <
ε
/2 (3). Так как n
k
0 при k , то можно найти такое k
1
>
K(
ε
), что )(
1
ε
Nn
k
> , поэтому 2/
1
ε
<
cx
k
n
. Полагая в (3) m
=
1
k
n , получим:
εεε
=+<++= 22
1111
cxxxcxxxcx
kkkk
nnnnnnn
т. е. cx
n
=
lim .
3. Функции одной переменной
3.1. Понятие функции
Пусть Хчисловое множество и пусть задан закон,
по которому каждому значению переменной
х из Х постав-
лено в соответствие одно определенное значение перемен-
ной
y, тогда переменная у называется функцией от перемен-
ной
х, заданной на Х (обозначение y=f(x), y=
ϕ
(x), y=y(x) и т.
д.), при этом
хнезависимая переменная (аргумент), уза-
висимая переменная.
Функции могут задаваться, вообще говоря, различ-
ными способами. В математическом анализе рассматрива-
ются, как правило, функции, заданные аналитически, т. е. в
виде формулы, указывающей на те операции или действия
над значениями переменной
х, которые надо произвести,
чтобы получить соответствующее значение переменной
у.
Кроме аналитического способа существуют также таблич-
ный и графический способы.
Пусть дана функция
y=f(x) (1). Множество Х всех
значений переменной
х, при которых правая часть равенства
(1) имеет смысл, называется областью определения функ-
ции
f(x). Множество Y всех значений переменной у таких,
что
y=f(x), где х Х, называется областью изменения функ-
ции
f(x), или образом множества Х при отображении f, при
этом говорят, что функция
f отображает X на Y (запись:
f(Х)=Y или f: XY).
Если функции
f и
ϕ
заданы на одном и том же мно-
жестве
Х, то естественным образом определяются сумма f
+
ϕ
, разность f
ϕ
, произведение f
ϕ
, частное
ϕ
f
. Это новые
функции, значения которых выражаются соответственно
формулами
f (х)+
ϕ
(х), f (х)–
ϕ
(х), f (х)
ϕ
(х),
)(
)(
x
xf
ϕ
, х Х, где в
случае частного предполагается, что
ϕ
(х)≠0 на Х.
Пусть
f: XY, а
ϕ
: YZ, тогда z=
ϕ
(f(x)) называется
функцией от функции или суперпозицией функций
f и
ϕ
;
она определена на
Х и отображает X в Z. Возможна более
сложная ситуация типа:
f: XY,
ϕ
: YZ,
ψ
: ZU, тогда f:
X
U, т. е. z=
ψ
(
ϕ
(f(x))) и так далее.
Важным средством задания функции является гра-
фик. Пусть на плоскости задана декартова прямоугольная
система координат
Оху, на оси Ох возьмем отрезок [a, b] и
построим какую-либо кривую, обладающую свойством: ка-
кова бы ни была точка
x [a, b], прямая, проходящая через
нее параллельно оси
Оy, пересекает кривую Г в одной точке
М. Такую кривую будем называть графиком. График задает
на отрезке [
a, b] функцию y = f(x) следующим образом: если
хпроизвольная точка отрезка [a, b], то соответствующее
значение
y = f(x) определяется как ордината точки М. Таким
образом, с помощью графика дается вполне определенный
закон соответствия между
х и y = f(x). Мы задали функцию с
помощью графика на
множестве
Х = [a, b]. В
других случаях
Х может
быть интервалом,
полуинтервалом, всей
действительной осью и т. д.
Функция на различ-
ных частях области опреде-