Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 23 стр.

                                                                     ch (x ± y) = ch x⋅ch y ± sh x⋅sh y, sh(x ± y) = = sh x⋅ch y ± ch
        Перечисленные функции 1 – 6 будем называть про-              x⋅sh y, откуда ch2 x–sh2 x=1, ch 2x = ch2 x+ sh2 x, sh 2x=2ch x⋅ch
стейшими элементарными функциями. Всякая функция, со-                x; проверим, например первую формулу:
ставленная из простейших элементарных функций с помо-                              ex+ y + ex− y   2 e x + y + 2e x − y
щью применения конечного числа операций сложения, вы-                ch( x + y ) =               =                      =
читания, умножения, деления и взятия функции от функ-                                    2                   4
ции, называется элементарной функцией.                                 e x+ y + e x− y + e x+ y − e x− y + e− x− y + e− x+ y + e− x− y − e− x+ y
                                                                     =                                                                           =
        Замечания:                                                                                          4
        1. В качестве упражнения настоятельно рекоменду-
ется самостоятельно построить графики простейших эле-                    e x (e y + e − y ) + e x ( e y − e − y ) + e − x (e y + e − y ) − e − x ( e y − e − y )
                                                                     =                                                                                           =
ментарных функций с указанием их основных свойств.                                                                 4
        2. Иногда к простейшим элементарным функциям                     e x + e− x e y + e− y e x − e− x e y − e− y
относят также следующие функции (которые, вообще гово-               =             ⋅          +          ⋅           = ch x ⋅ ch y + sh x ⋅ sh y.
                                                                              2          2          2          2
ря, могут быть получены из функций 1 - 6):
1) целая рациональная функция, или многочлен степени n
    y=P(x)=a0xn + a1xn-1 + …+ an-1x + an, где а0, а1, а2, …, аn –
    заданные действительные числа, называемые коэффици-                                        3.3. Предел функции
    ентами; областью определения многочлена является вся                     Определение 1. Пусть функция y=f(x) определена в
    числовая прямая;                                                 некоторой окрестности точки х = а, кроме, быть может, са-
2) дробная рациональная функция, являющаяся отношени-                мой этой точки (под окрестностью точки х = а будем пони-
    ем двух многочленов                                              мать любой интервал, содержащий эту точку; в частности, δ
     P( x) a0 x n + a1 x n−1 + Κ + an−1 x + an                       - окрестностью точки х = а Uδ(а) будем называть интервал
 y=         =                                     , она определена   (а-δ, а+δ)). Число А называется пределом функции y = f(x) в
     Q( x) b0 x m + b1 x m−1 + Κ + bm−1 x + bm
                                                                     точке х = а (или при х→ а), если ∀ε > 0 ∃δ =δ(ε): 0 < |x - a|
для всех значений х, кроме тех, для которых Q(x) = 0;
                                                                     <δ ⇒|f(x) - A| < ε. Обозначают этот факт таким образом:
3) гиперболические функции:
                                                                     lim f ( x) = A или f ( x) → A
                 e x − e−x           e x + e−x                       x →a                             x→ a
         sh x =            , ch x =            ,                           Ясно, что предел последовательности является част-
                     2                   2
                                                                     ным случаем предела функции, если ее элементы рассмат-
                 sh x e x − e − x              ch x e x + e − x
          th x =        = x        , cth  x =      =                 ривать как значения функции от целочисленного аргумента
                 ch x e + e − x                sh x e x − e − x      n.
(гиперболические синус, косинус, тангенс, котангенс), они                  Определение 2. Число А называется пределом функ-
определены для всех значений х, за исключением cth x, ко-            ции y=f(x) в точке х=а, если она определена в некоторой ок-
торый не определен при х = 0; эти функции проявляют за-              рестности точки х=а, кроме, быть может, самой этой точки,
мечательную аналогию с тригонометрическими функциями:                и если для последовательности {xn}, сходящейся к а и та-