Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 24 стр.

кой, что xn ≠ а для всех n, числовая последовательность           A = f (a + 0) = lim f ( x) = lim f ( x) .    Аналогично      вводится
                                                                                   x→a +0       x→a
{f(xn)} имеет предел, равный А: lim f ( xn ) = A (здесь пред-                                   x>a
                                   xn → a
                                                                  понятие предела слева: A = f (a − 0) = lim f ( x) = lim f ( x) .
полагается, что варианта xn пробегает значения, для кото-                                                       x →a −0     x →a
                                                                                                                            x0 и подберем δ так, чтобы при |x -       f(x) может иметь и бесконечный предел, а именно:
a|<δ выполнялось неравенство |f(x) - А| <ε. Так как хn→ а, то     lim f ( x) = +∞ (−∞) , если ∀ε > 0 ∃δ >0: |x-a|<δ ⇒ f(x) >
                                                                  x →a
∃N: при n>N |xn - a|<δ, но тогда при таких n будет выполне-       E (f(x) < -E).
но неравенство |f(xn) - A|<ε, т. е. f(xn)→A и lim f ( x) = A в            Будем говорить, что функция f(x) при стремлении х к
                                               x →a
                                                                  +∞ (-∞), если f(x) определена для всех х таких, что х > M (x <
смысле второго определения.
                                                                  -M) при некотором M >0 и если ∀ε > 0 существует такое ∆ >
      Пусть теперь lim f ( x) = A в смысле второго опреде-
                      x →a                                        0, что |f(x) - A| < ε, как только х > ∆ (х < -∆), будем писать
ления. Предположим, вопреки доказываемому, что f(x) не            при этом: lim f ( x) = A . Это определение эквивалентно
                                                                                x → +∞
имеет предела в смысле определения 1. Тогда существует ε0                       ( x →−∞ )

такое, что какое бы δ ни взять, всегда найдется хотя бы од-       следующему:
но значение х=хδ, для которого |xδ - a|<δ, но тем не менее                Число А есть предел функции f(x) при х→ +∞ (-∞),
f(xδ) - A|≥ε. Возьмем последовательность {δn}, стремящую-        если функция определена для всех х таких, что х > M (x < -
ся к нулю. Для каждого числа δ=δn найдем х/=хn/ такое, что        M) при некотором M >0 и для любой последовательности
| хn/ - a |<δn и |f(хn/) - A|≥ε. Таким образом, получили после-   {хn}, сходящейся к +∞ (-∞) lim f(xn) = A.
довательность {хn/}, для которой | хn/ - a|<δn (n=1, 2, 3, …).            В дальнейшем в выражении lim f ( x) = A под а будем
                                                                                                              x →a
Так как δn→0, то хn/→а. Тогда, по второму определению,            понимать конечное число или ∞, и можно дать общее опре-
последовательность {f(хn/)} должна стремиться к А, а это          деление: число А называется пределом функции f(x) при х→
невозможно, так как | f(хn/) - A|≥ε.                              а (или ∞), если функция f(x) определена в некоторой окре-
         Если f(x) определена на (a, b] и для любой последо-      стности точки х=а, кроме, быть может, самой этой точки, и
вательности {хn} такой, что хn→а, хn > а lim f ( xn ) = A , то    если ∀ε > 0 найдется такая окрестность U(a) точки х=а, что
                                             n →∞
число А называется пределом функции f(x) в точке а справа.        ∀х∈ U(a) имеет место неравенство |f(x) - A|<ε, при этом под
Этот           факт          обозначается             так:        окрестностью конечной точки х=а будем понимать любой
                                                                  интервал (c, d), содержащий точку х = а, если же а = +∞ (-
                                                                  ∞), то ее окрестностью будем считать множество всех х,