ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
кой, что x
n
≠ а для всех n, числовая последовательность
{f(x
n
)} имеет предел, равный А:
Axf
n
ax
n
=
→
)(lim
(здесь пред-
полагается, что варианта x
n
пробегает значения, для кото-
рых f(x) определена).
Докажем, что эти два определения эквивалентны.
Пусть
Axf
n
ax
n
=
→
)(lim в смысле определения 1. и пусть {x
n
} –
произвольная последовательность, сходящаяся к а такая,
что x
n
≠ а ∀n. Возьмем
ε
>0 и подберем
δ
так, чтобы при |x -
a|<
δ
выполнялось неравенство |f(x) - А| <
ε
. Так как х
n
→ а, то
∃N: при n>N |x
n
- a|<
δ
, но тогда при таких n будет выполне-
но неравенство |f(x
n
) - A|<
ε
, т. е. f(x
n
)→A и Axf
ax
=
→
)(lim в
смысле второго определения.
Пусть теперь Axf
ax
=
→
)(lim в смысле второго опреде-
ления. Предположим, вопреки доказываемому, что f(x) не
имеет предела в смысле определения 1. Тогда существует
ε
0
такое, что какое бы
δ
ни взять, всегда найдется хотя бы од-
но значение х=х
δ
, для которого |x
δ
- a|<
δ
, но тем не менее
f(x
δ
) - A|≥
ε
. Возьмем последовательность {
δ
n
}, стремящую-
ся к нулю. Для каждого числа
δ
=
δ
n
найдем х
/
=х
n
/
такое, что
| х
n
/
- a |<
δ
n
и |f(х
n
/
) - A|
≥ε
. Таким образом, получили после-
довательность {х
n
/
}, для которой | х
n
/
- a|<
δ
n
(n=1, 2, 3, …).
Так как
δ
n
→0, то х
n
/
→а. Тогда, по второму определению,
последовательность {f(х
n
/
)} должна стремиться к А, а это
невозможно, так как | f(х
n
/
) - A|
≥ε
.
Если f(x) определена на (a, b] и для любой последо-
вательности {х
n
} такой, что х
n
→а, х
n
> а Axf
n
n
=
∞→
)(lim , то
число А называется пределом функции f(x) в точке а справа.
Этот факт обозначается так:
)(lim)(lim)0(
0
xfxfafA
ax
axax
>
→+→
=
=
+
=
. Аналогично вводится
понятие предела слева: )(lim)(lim)0(
0
xfxfafA
ax
axax
<
→−→
=
=
−
=
.
Для того, чтобы Axf
ax
=
→
)(lim , необходимо и доста-
точно, чтобы f(a+0)=f(a-0) = A.
При стремлении х к конечному пределу а функция
f(x) может иметь и бесконечный предел, а именно:
)()(lim
−
∞
+
∞
=
→
xf
ax
, если ∀
ε
> 0 ∃
δ
>0: |x-a|<
δ
⇒ f(x) >
E (f(x) < -E).
Будем говорить, что функция
f(x) при стремлении х к
+
∞
(-
∞
), если f(x) определена для всех х таких, что х > M (x <
-
M) при некотором M >0 и если ∀
ε
> 0 существует такое
∆
>
0, что |
f(x) - A| <
ε
, как только х >
∆
(х < -
∆
), будем писать
при этом:
Axf
x
x
=
−∞→
+∞→
)(lim
)(
. Это определение эквивалентно
следующему:
Число
А есть предел функции f(x) при х→ +
∞
(-
∞
),
если функция определена для всех
х таких, что х > M (x < -
M) при некотором M >0 и для любой последовательности
{
х
n
}, сходящейся к +
∞
(-
∞
) lim f(x
n
) = A.
В дальнейшем в выражении
Axf
ax
=
→
)(lim
под
а будем
понимать конечное число или
∞
, и можно дать общее опре-
деление: число
А называется пределом функции f(x) при х→
а (или
∞
), если функция f(x) определена в некоторой окре-
стности точки
х=а, кроме, быть может, самой этой точки, и
если
∀
ε
> 0 найдется такая окрестность U(a) точки х=а, что
∀х∈ U(a) имеет место неравенство |f(x) - A|<
ε
, при этом под
окрестностью конечной точки
х=а будем понимать любой
интервал (
c, d), содержащий точку х = а, если же а = +
∞
(-
∞
), то ее окрестностью будем считать множество всех х,
кой, что xn ≠ а для всех n, числовая последовательность A = f (a + 0) = lim f ( x) = lim f ( x) . Аналогично вводится
x→a +0 x→a
{f(xn)} имеет предел, равный А: lim f ( xn ) = A (здесь пред- x>a
xn → a
понятие предела слева: A = f (a − 0) = lim f ( x) = lim f ( x) .
полагается, что варианта xn пробегает значения, для кото- x →a −0 x →a
x0 и подберем δ так, чтобы при |x - f(x) может иметь и бесконечный предел, а именно:
a|<δ выполнялось неравенство |f(x) - А| <ε. Так как хn→ а, то lim f ( x) = +∞ (−∞) , если ∀ε > 0 ∃δ >0: |x-a|<δ ⇒ f(x) >
x →a
∃N: при n>N |xn - a|<δ, но тогда при таких n будет выполне- E (f(x) < -E).
но неравенство |f(xn) - A|<ε, т. е. f(xn)→A и lim f ( x) = A в Будем говорить, что функция f(x) при стремлении х к
x →a
+∞ (-∞), если f(x) определена для всех х таких, что х > M (x <
смысле второго определения.
-M) при некотором M >0 и если ∀ε > 0 существует такое ∆ >
Пусть теперь lim f ( x) = A в смысле второго опреде-
x →a 0, что |f(x) - A| < ε, как только х > ∆ (х < -∆), будем писать
ления. Предположим, вопреки доказываемому, что f(x) не при этом: lim f ( x) = A . Это определение эквивалентно
x → +∞
имеет предела в смысле определения 1. Тогда существует ε0 ( x →−∞ )
такое, что какое бы δ ни взять, всегда найдется хотя бы од- следующему:
но значение х=хδ, для которого |xδ - a|<δ, но тем не менее Число А есть предел функции f(x) при х→ +∞ (-∞),
f(xδ) - A|≥ε. Возьмем последовательность {δn}, стремящую- если функция определена для всех х таких, что х > M (x < -
ся к нулю. Для каждого числа δ=δn найдем х/=хn/ такое, что M) при некотором M >0 и для любой последовательности
| хn/ - a |<δn и |f(хn/) - A|≥ε. Таким образом, получили после- {хn}, сходящейся к +∞ (-∞) lim f(xn) = A.
довательность {хn/}, для которой | хn/ - a|<δn (n=1, 2, 3, …). В дальнейшем в выражении lim f ( x) = A под а будем
x →a
Так как δn→0, то хn/→а. Тогда, по второму определению, понимать конечное число или ∞, и можно дать общее опре-
последовательность {f(хn/)} должна стремиться к А, а это деление: число А называется пределом функции f(x) при х→
невозможно, так как | f(хn/) - A|≥ε. а (или ∞), если функция f(x) определена в некоторой окре-
Если f(x) определена на (a, b] и для любой последо- стности точки х=а, кроме, быть может, самой этой точки, и
вательности {хn} такой, что хn→а, хn > а lim f ( xn ) = A , то если ∀ε > 0 найдется такая окрестность U(a) точки х=а, что
n →∞
число А называется пределом функции f(x) в точке а справа. ∀х∈ U(a) имеет место неравенство |f(x) - A|<ε, при этом под
Этот факт обозначается так: окрестностью конечной точки х=а будем понимать любой
интервал (c, d), содержащий точку х = а, если же а = +∞ (-
∞), то ее окрестностью будем считать множество всех х,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- …
- следующая ›
- последняя »
