Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 24 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

кой, что x
n
а для всех n, числовая последовательность
{f(x
n
)} имеет предел, равный А:
Axf
n
ax
n
=
)(lim
(здесь пред-
полагается, что варианта x
n
пробегает значения, для кото-
рых f(x) определена).
Докажем, что эти два определения эквивалентны.
Пусть
Axf
n
ax
n
=
)(lim в смысле определения 1. и пусть {x
n
} –
произвольная последовательность, сходящаяся к а такая,
что x
n
а n. Возьмем
ε
>0 и подберем
δ
так, чтобы при |x -
a|<
δ
выполнялось неравенство |f(x) - А| <
ε
. Так как х
n
а, то
N: при n>N |x
n
- a|<
δ
, но тогда при таких n будет выполне-
но неравенство |f(x
n
) - A|<
ε
, т. е. f(x
n
)A и Axf
ax
=
)(lim в
смысле второго определения.
Пусть теперь Axf
ax
=
)(lim в смысле второго опреде-
ления. Предположим, вопреки доказываемому, что f(x) не
имеет предела в смысле определения 1. Тогда существует
ε
0
такое, что какое бы
δ
ни взять, всегда найдется хотя бы од-
но значение х=х
δ
, для которого |x
δ
- a|<
δ
, но тем не менее
f(x
δ
) - A|
ε
. Возьмем последовательность {
δ
n
}, стремящую-
ся к нулю. Для каждого числа
δ
=
δ
n
найдем х
/
=х
n
/
такое, что
| х
n
/
- a |<
δ
n
и |f(х
n
/
) - A|
≥ε
. Таким образом, получили после-
довательность {х
n
/
}, для которой | х
n
/
- a|<
δ
n
(n=1, 2, 3, …).
Так как
δ
n
0, то х
n
/
а. Тогда, по второму определению,
последовательность {f(х
n
/
)} должна стремиться к А, а это
невозможно, так как | f(х
n
/
) - A|
≥ε
.
Если f(x) определена на (a, b] и для любой последо-
вательности {х
n
} такой, что х
n
а, х
n
> а Axf
n
n
=
)(lim , то
число А называется пределом функции f(x) в точке а справа.
Этот факт обозначается так:
)(lim)(lim)0(
0
xfxfafA
ax
axax
>
+
=
=
+
=
. Аналогично вводится
понятие предела слева: )(lim)(lim)0(
0
xfxfafA
ax
axax
<
=
=
=
.
Для того, чтобы Axf
ax
=
)(lim , необходимо и доста-
точно, чтобы f(a+0)=f(a-0) = A.
При стремлении х к конечному пределу а функция
f(x) может иметь и бесконечный предел, а именно:
)()(lim
+
=
xf
ax
, если
ε
> 0
δ
>0: |x-a|<
δ
f(x) >
E (f(x) < -E).
Будем говорить, что функция
f(x) при стремлении х к
+
(-
), если f(x) определена для всех х таких, что х > M (x <
-
M) при некотором M >0 и если
ε
> 0 существует такое
>
0, что |
f(x) - A| <
ε
, как только х >
(х < -
), будем писать
при этом:
Axf
x
x
=
−∞
+∞
)(lim
)(
. Это определение эквивалентно
следующему:
Число
А есть предел функции f(x) при х +
(-
),
если функция определена для всех
х таких, что х > M (x < -
M) при некотором M >0 и для любой последовательности
{
х
n
}, сходящейся к +
(-
) lim f(x
n
) = A.
В дальнейшем в выражении
Axf
ax
=
)(lim
под
а будем
понимать конечное число или
, и можно дать общее опре-
деление: число
А называется пределом функции f(x) при х
а (или
), если функция f(x) определена в некоторой окре-
стности точки
х=а, кроме, быть может, самой этой точки, и
если
ε
> 0 найдется такая окрестность U(a) точки х=а, что
х U(a) имеет место неравенство |f(x) - A|<
ε
, при этом под
окрестностью конечной точки
х=а будем понимать любой
интервал (
c, d), содержащий точку х = а, если же а = +
(-
), то ее окрестностью будем считать множество всех х,