ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
удовлетворяющих неравенству х > M (x < -M), где M >0 –
любое число.
3.4. Свойства предела функции
В силу 2-го определения, все свойства предела вари-
анты, перефразировав, можно автоматически перенести на
предел функции. Например, 2-е простейшее свойство мож-
но сформулировать так:
1.
Пусть Axf
ax
=
→
)(lim (конечное число) и A>p (A<q).
Тогда для достаточно близких к
а значений х (отлич-
ных от
а) и сама функция удовлетворяет неравенству
f(x)>p (f(x)<q) (1).
В самом деле, взяв
ε
< A - p (q - A), будем иметь: А -
ε
>
p (A +
ε
<q). Но, по определению предела, для такого
ε
найдется
δ
такое, что неравенство |x-a|<
δ
влечет за собой
неравенство
А-
ε
< f(x) <A+
ε
. Тогда при этих значениях х и
подавно будет выполняться (1).
Остальные свойства сформулируем без доказатель-
ства.
2.
Если при х→ а f(x) имеет конечный положительный
(отрицательный) предел, то и сама функция будет
положительной (отрицательной), по крайней мере,
для значений
х, достаточно близких к а.
3.
Если Axf
ax
=
→
)(lim (конечное число), то в некоторой
окрестности
U(a) функция f(x) ограничена.
4.
Пусть Axf
ax
=
→
)(lim Bxg
ax
=
→
)(lim (А, В – конечные
числа), тогда
[]
BAxgxf
ax
±
=
±
→
)()(lim ,
BAxgxf
ax
⋅=
⋅
→
)()(lim
, если
В≠0, то
B
A
xg
xf
ax
=
→
)(
)(
lim .
5.
Если Axf
ax
=
→
)(lim , Bxg
ax
=
→
)(lim и f(x) ≤ g(x)
∀x∈U(a), то А ≤ В.
6.
Если f(x) ≤
ϕ
(х) ≤ g(x) ∀x∈U(a) и
Axgxf
axax
=
=
→→
)(lim)(lim , то и Ax
ax
=
→
)(lim
ϕ
.
3.5. Вычисление пределов
Опять же в силу 2-го определения предела функции,
вычисление пределов функций практически не отличается
от вычисления пределов последовательностей.
Примеры:
1) Покажем, что если а > 1, то
+∞=
+∞→
x
x
alim
.
Действительно, для любого
Е > 0 можно взять
∆
= log
а
Е и
тогда при
х >
∆
будет выполняться неравенство а
х
> E.
Аналогично можно показать, что
0lim =
−∞→
x
x
a
(при а>1).
Если
а∈(0, 1), то 0
1
limlim =
=
−
+∞→+∞→
x
x
x
x
a
a
и
+∞=
=
−
−∞→−∞→
x
x
x
x
a
a
1
limlim .
2)
Если а>1, то
+
∞
=
+∞→
x
a
x
loglim
,
−∞=
+→
x
a
x
loglim
0
.
В этом можно убедиться следующим образом: возь-
мем произвольное
Е > 0, тогда при х > a
Е
будем иметь log
a
x
>E, а при х∈(0, a
-Е
) будет выполняться неравенство log
a
x <-
E
.
3) Из полученного в 2.5 предела
+∞=
∞→
k
n
n
n
a
lim легко
получить, что
+∞=
+∞→
k
x
x
x
a
lim (а > 1, k > 0).
удовлетворяющих неравенству х > M (x < -M), где M >0 – 5. Если lim f ( x) = A , lim g ( x) = B и f(x) ≤ g(x)
x →a x →a
любое число.
∀x∈U(a), то А ≤ В.
3.4. Свойства предела функции 6. Если f(x) ≤ ϕ(х) ≤ g(x) ∀x∈U(a) и
В силу 2-го определения, все свойства предела вари- lim f ( x) = lim g ( x) = A , то и lim ϕ ( x) = A .
x →a x→a x →a
анты, перефразировав, можно автоматически перенести на
предел функции. Например, 2-е простейшее свойство мож- 3.5. Вычисление пределов
но сформулировать так: Опять же в силу 2-го определения предела функции,
1. Пусть lim f ( x) = A (конечное число) и A>p (Ap (f(x) 1, то lim a x = +∞ .
x → +∞
В самом деле, взяв ε < A - p (q - A), будем иметь: А - ε Действительно, для любого Е > 0 можно взять ∆ = logа Е и
>p (A + ε ∆ будет выполняться неравенство ах > E.
найдется δ такое, что неравенство |x-a|<δ влечет за собой
Аналогично можно показать, что lim a x = 0 (при а>1).
неравенство А-ε < f(x) 1, то lim log a x = +∞ , lim log a x = −∞ .
для значений х, достаточно близких к а. x → +∞ x → +0
3. Если lim f ( x) = A (конечное число), то в некоторой В этом можно убедиться следующим образом: возь-
x →a мем произвольное Е > 0, тогда при х > aЕ будем иметь log a x
окрестности U(a) функция f(x) ограничена. >E, а при х∈(0, a-Е) будет выполняться неравенство log a x <-
4. Пусть lim f ( x) = A lim g ( x) = B (А, В – конечные E.
x →a x →a
числа), тогда lim[ f ( x) ± g ( x)] = A ± B , an
3) Из полученного в 2.5 предела lim k = +∞ легко
x →a
n →∞ n
f ( x) A
lim f ( x) ⋅ g ( x) = A ⋅ B , если В≠0, то lim = . a x
x →a x →a g ( x) B получить, что lim k = +∞ (а > 1, k > 0).
x → +∞ x
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- …
- следующая ›
- последняя »
