Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 25 стр.

удовлетворяющих неравенству х > M (x < -M), где M >0 –                 5. Если         lim f ( x) = A , lim g ( x) = B         и f(x) ≤ g(x)
                                                                                       x →a             x →a
любое число.
                                                                          ∀x∈U(a), то А ≤ В.
              3.4. Свойства предела функции                            6. Если f(x) ≤ ϕ(х) ≤ g(x) ∀x∈U(a) и
      В силу 2-го определения, все свойства предела вари-                 lim f ( x) = lim g ( x) = A , то и lim ϕ ( x) = A .
                                                                              x →a       x→a                   x →a
анты, перефразировав, можно автоматически перенести на
предел функции. Например, 2-е простейшее свойство мож-                                3.5. Вычисление пределов
но сформулировать так:                                                     Опять же в силу 2-го определения предела функции,
   1. Пусть lim f ( x) = A (конечное число) и A>p (Ap (f(x) 1, то lim a x = +∞ .
                                                                                                                 x → +∞
      В самом деле, взяв ε < A - p (q - A), будем иметь: А - ε      Действительно, для любого Е > 0 можно взять ∆ = logа Е и
>p (A + ε  ∆ будет выполняться неравенство ах > E.
найдется δ такое, что неравенство |x-a|<δ влечет за собой
                                                                         Аналогично можно показать, что lim a x = 0 (при а>1).
неравенство А-ε < f(x) 1, то lim log a x = +∞ , lim log a x = −∞ .
      для значений х, достаточно близких к а.                                                  x → +∞                 x → +0

   3. Если lim f ( x) = A (конечное число), то в некоторой                 В этом можно убедиться следующим образом: возь-
              x →a                                                  мем произвольное Е > 0, тогда при х > aЕ будем иметь log a x
      окрестности U(a) функция f(x) ограничена.                     >E, а при х∈(0, a-Е) будет выполняться неравенство log a x <-
   4. Пусть lim f ( x) = A lim g ( x) = B (А, В – конечные          E.
                x →a             x →a

       числа), тогда lim[ f ( x) ± g ( x)] = A ± B ,                                                               an
                                                                           3) Из полученного в 2.5 предела lim k = +∞ легко
                       x →a
                                                                                                              n →∞ n
                                                        f ( x) A
       lim f ( x) ⋅ g ( x) = A ⋅ B , если В≠0, то lim         = .                         a x
       x →a                                      x →a   g ( x) B    получить, что lim k = +∞ (а > 1, k > 0).
                                                                                   x → +∞ x