Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 27 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

Пусть теперь x
k
-
, причем можно считать, что
x
k
< - 1. Положим x
k
= -у
k
, тогда у
k
+
, причем у
k
> 1. Да-
лее,
+
+=
=
=
+
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
k
y
k
y
k
k
y
k
x
k
yyy
y
yx
kkkk
и так как, по доказанному, e
y
k
y
k
=
+
1
1
1
1lim и
1
1
1
1lim =
+
k
y
, то e
x
k
x
k
x
=
+
−∞
1
1lim . Таким образом, с
учетом 2-го определения предела функции,
e
x
x
x
=
+
±∞
1
1lim .
Замечание. Предел (3), как правило, применяется в
более общей форме: если 0)(lim
=
x
ax
α
, то
ex
x
ax
=+
)(
1
)](1[lim
α
α
. В частности ex
x
x
=+
1
0
]1[lim .
7) x
x
sinlim
±∞
не существует, так как двум последова-
тельностям значений х
π
2
1
2n и
+
π
2
1
2n (n = 1, 2,
3, …), стремящимся к
, отвечают последовательности зна-
чений функции, имеющие разные пределы
11
2
1
2sin =
π
n , 11
2
1
2sin =
+
π
n .
Аналогично можно показать, что не существует
x
x
1
sinlim
0
, но функция 0
1
sin
x
x при
0x
, так как
x
x
x
1
sin
.
8)Рассмотрим
)(
)(
lim
xQ
xP
x ±∞
,
где
kk
kk
axaxaxaxP ++++=
1
1
10
)( Κ ,
ll
ll
bxbxbxbxQ ++++=
1
1
10
)( Κ
. Ясно, что
, lim
)(limlim)(lim
1
0
1
0
±∞=
+++=
==
+++=
±∞
±∞±∞±∞
l
l
l
x
x
k
k
k
xx
x
b
x
b
bx
xQ
x
a
x
a
axxP
Κ
Κ
причем знак предела зависит от четности показателей k, l и
от знаков коэффициентов a
0
, b
0
. поэтому
)(
)(
xQ
xP
при ±∞
x
представляет собой неопределенность вида
, которая
может быть раскрыта так же, как в §3.5:
<
=
>±
=
+++
+++
=
±∞±∞
.,0
,,
,,
lim
)(
)(
lim
0
0
1
0
1
0
lkесли
lkесли
b
a
lkесли
x
b
x
b
b
x
a
x
a
a
x
xQ
xP
l
l
k
k
lk
xx
Κ
Κ
9) Докажем, что
r
x
x
r
x
=
+
1)1(
lim
0
, где 0>r рацио-
нальное число.
Пусть вначале r = nнатуральное число. По форму-
ле бинома Ньютона имеем
1
2
2
)1(
2
)1(
1)1(
++
+=
++
+
=
+
n
n
n
xx
nn
n
x
xx
nn
nx
x
x
Κ
Κ
откуда
n
n
x
n
x
=
+
1)1(
lim
0
.