Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 27 стр.

        Пусть теперь xk → - ∞, причем можно считать, что                                                                                          P( x)
                                                                                                                     8)Рассмотрим lim                     ,
xk < - 1. Положим xk = -уk, тогда уk→ +∞, причем уk > 1. Да-                                                                               x → ±∞ Q ( x )

лее,                                                                                                        где P ( x) = a0 x k + a1 x k −1 + Κ + ak −1 x + ak ,
          xk                   − yk                   yk                         yk −1
    1        1                        y                         1                        1 
1 +  = 1 −                    =  k              = 1 +                     1 +             Q( x) = b0 x l + b1 x l −1 + Κ + bl −1 x + bl . Ясно, что
    xk       yk                       yk − 1                 y k − 1                 y k − 1 
                                                                                                                                              a       a 
                                                                                    yk −1                     lim P( x) = lim x k  a0 + 1 + Κ + kk  = lim Q( x) =
                                                                        1                                 x → ±∞             x → ±∞         x       x  x → ±∞
и так как, по доказанному,                                      lim1 +                  =e      и
                                                                     yk − 1                                                     b        b 
                                                           xk
                                                                                                            = lim xl  b0 + 1 + Κ + ll  = ±∞ ,
        1                      1                                                                            x → ±∞             x       x 
lim1 +      = 1 , то lim 1 +  = e . Таким образом, с                                                причем знак предела зависит от четности показателей k, l и
     yk − 1            x →−∞
                                 xk 
                                                                                                                                                               P( x)
                                                1
                                                                                              x             от знаков коэффициентов a0, b0. поэтому                   при x → ±∞
учетом 2-го определения предела функции, lim 1 +  = e .                                                                                                      Q ( x)
                                         x →±∞
                                                  x                                                                                                               ∞
      Замечание. Предел (3), как правило, применяется в                                                     представляет собой неопределенность вида   , которая
                                                                                                                                                                    ∞
более     общей     форме:    если    limα ( x) = 0 , то
                                                                     x →a                                   может          быть       раскрыта     так   же,     как      в    §3.5:
                    1                                                1
                                                                                                                                            a        a   ± ∞, если k > l ,
lim[1 + α ( x)]   α ( x)
                           = e . В частности lim[1 + x] = e .        x
                                                                                                                                        a0 + 1 + Κ + kk 
x →a                                                  x →0
                                                                                                             lim
                                                                                                                   P( x)
                                                                                                                           = lim x k −l      x       x =  a0 , если k = l ,
        7) lim sin x не существует, так как двум последова-                                                 x → ±∞ Q ( x )                   b       b   
                                                                                                                             x → ±∞                        b
               x →±∞                                                                                                                    b0 + 1 + Κ + ll  0
                                1           1                                                                                        x       x   0,      если k < l.
тельностям значений х  2n − π  и  2n + π  (n = 1, 2,
                                2           2                                                                                            (1 + x) r − 1
                                                                                                                     9) Докажем, что lim                       = r , где r > 0 – рацио-
3, …), стремящимся к ∞, отвечают последовательности зна-                                                                                    x →0      x
чений        функции,      имеющие         разные      пределы                                              нальное число.
          1                       1                                                                              Пусть вначале r = n – натуральное число. По форму-
sin  2n − π = −1 → −1 , sin  2n + π = 1 → 1 .                                                           ле бинома Ньютона имеем
          2                       2
                                                                                                                                   n(n − 1) 2
       Аналогично можно показать, что не существует                                                                          nx +           x + Κ + xn
                                                                                                            (1 + x) n − 1             2                     n(n − 1)
         1                       1
lim sin , но функция x sin → 0 при x → 0 , так как                                                                         =                           = n+          x + Κ + x n −1
 x →0    x                        x                                                                               x                       x                    2
        1                                                                                                                  (1 + x) − 1
                                                                                                                                  n

 x ⋅ sin ≤ x .                                                                                               откуда lim                =n.
        x
                                                                                                                      x →0      n