Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 28 стр.

                         1                                                     точной верхней границы для любого ε > 0 существует х/∈(a,
 Пусть теперь r =          , m ∈ N . Полагая   m
                                                   1 + x − 1 = y , откуда
                         m                                                     b) такое, что А-ε < f(x/) ≤ A. А так как f(x) не убывает на (a,
 x = (1 + y ) m − 1 , имеем                                                    b), то при х∈( х/, b) f(х/) ≤ f(х). Таким образом, для любого ε
                                                                               > 0 можно указать х/ < b такое, что А-ε < f(x) < A+ε для всех
        (1 + x) r − 1 m 1 + x − 1         y       1
                     =            =              → , так как,                  х, удовлетворяющих неравенствам х/ < х < b. Это и значит,
             x             x        (1 + y ) − 1
                                            m
                                                  m                            что lim f ( x) = A .
 очевидно, если x → 0 , то y → 0 .                                                 x →b − 0

                                                                                       Если функция f(x) не ограничена сверху, то для лю-
                         n
 И, наконец, если r = , то, используя ту же подстановку,                       бого сколь угодно большого Е найдется х/∈(a, b) такое, что
                         m                                                     f(x/) >E, тогда для х > х/ и подавно f(x) >E, и это и означает,
 получаем:                                                                     что lim f ( x) = +∞ .
                      n                                                            x →b − 0
(1 + x) r − 1 (1 + x) m − 1 (1 + y ) n − 1 (1 + y ) n − 1         y        n          Точно так же можно доказать, что если неубываю-
             =             =              =               ⋅              →
     x              x        (1 + y ) − 1
                                     m
                                                 y          (1 + y ) − 1
                                                                    m
                                                                           m   щая на интервале (a, b) (конечном или бесконечном) функ-
 .                                                                             ция f(x) ограничена снизу числом т, то существует конеч-
                                                                               ный предел lim f ( x) = A ≥ m . Если же функция не ограни-
                                                                                                 x→a + 0
             3.6. Предел монотонной функции                                    чена снизу, то lim f ( x) = −∞ .
         Пусть функция f(x) определена на множестве Х={х}.                                         x→a +0

 Функция называется возрастающей (убывающей) на этом                                  В качестве упражнения рекомендуется самостоя-
 множестве, если для любых х/, х//∈Х таких, что х/ < х//, вы-                  тельно сформулировать и доказать аналогичные утвержде-
 полняется неравенство f(х/) < f(х//) (f(х/) > f(х//)). Если же из х/          ния для невозрастающих функций.
 < х// следует f(х/) ≤ f(х//) (f(х/) ≥ f(х//)), то функция называется
 неубывающей (невозрастающей). Функции всех этих типов                                        3.7. Бесконечно малые и бесконечно
 носят название монотонных.                                                                            большие функции
         Теорема. Пусть функция f(x) не убывает на интерва-                            Пусть α(х) и β(х) – бесконечно малые функции при х
 ле (а, b) (конечном или бесконечном). Если она ограничена                                                       β ( x)
 сверху числом М, то существует конечный предел                                → а. Рассмотрим отношение                  в предположении, что
                                                                                                                 α ( x)
  lim f ( x) ≤ M . Если же она не ограничена сверху, то
 x →b − 0                                                                      α(х) ≠ 0 при х, достаточно близких к а. Если
  lim f ( x) = +∞ .                                                                β ( x)
 x →b − 0                                                                      lim        = k ≠ 0, ∞ , то α(х) и β(х) называются бесконечно
                                                                               x→a α ( x)
       Доказательство. Пусть функция f(x) ограничена
 сверху. Тогда множество ее значений {f(x)} имеет конечную                                                              β ( x)
                                                                               малыми одного порядка. Если lim                 = 0 , то бесконечно
 точную верхнюю границу sup f ( x) = A ≤ M . По свойству                                                          x→a α ( x)
                                 x∈( a ,b )