Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 28 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

Пусть теперь Nm
m
r = ,
1
. Полагая
yx
m
=+ 11
, откуда
1)1( +=
m
yx , имеем
my
y
x
x
x
x
m
m
r
1
1)1(
111)1(
+
=
+
=
+
, так как,
очевидно, если
0x , то 0y .
И, наконец, если
m
n
r =
, то, используя ту же подстановку,
получаем:
m
n
y
y
y
y
y
y
x
x
x
x
m
n
m
n
m
n
r
+
+
=
+
+
=
+
=
+
1)1(
1)1(
1)1(
1)1(1)1(1)1(
.
3.6. Предел монотонной функции
Пусть функция f(x) определена на множестве Х={х}.
Функция называется возрастающей (убывающей) на этом
множестве, если для любых х
/
, х
//
Х таких, что х
/
< х
//
, вы-
полняется неравенство f(х
/
) < f(х
//
) (f(х
/
) > f(х
//
)). Если же из х
/
< х
//
следует f(х
/
) f(х
//
) (f(х
/
) f(х
//
)), то функция называется
неубывающей (невозрастающей). Функции всех этих типов
носят название монотонных.
Теорема. Пусть функция f(x) не убывает на интерва-
ле (а, b) (конечном или бесконечном). Если она ограничена
сверху числом М, то существует конечный предел
Mxf
bx
)(lim
0
. Если же она не ограничена сверху, то
+
=
)(lim
0
xf
bx
.
Доказательство. Пусть функция f(x) ограничена
сверху. Тогда множество ее значений {f(x)} имеет конечную
точную верхнюю границу
MAxf
bax
=
)(sup
),(
. По свойству
точной верхней границы для любого
ε
> 0 существует х
/
(a,
b) такое, что А-
ε
< f(x
/
) A. А так как f(x) не убывает на (a,
b), то при х( х
/
, b) f(х
/
) f(х). Таким образом, для любого
ε
> 0 можно указать х
/
< b такое, что А-
ε
< f(x) < A+
ε
для всех
х, удовлетворяющих неравенствам х
/
< х
< b. Это и значит,
что Axf
bx
=
)(lim
0
.
Если функция f(x) не ограничена сверху, то для лю-
бого сколь угодно большого Е найдется х
/
(a, b) такое, что
f(x
/
) >E, тогда для х > х
/
и подавно f(x) >E, и это и означает,
что
+
=
)(lim
0
xf
bx
.
Точно так же можно доказать, что если неубываю-
щая на интервале (a, b) (конечном или бесконечном) функ-
ция f(x) ограничена снизу числом т, то существует конеч-
ный предел mAxf
ax
=
+
)(lim
0
. Если же функция не ограни-
чена снизу, то
=
+
)(lim
0
xf
ax
.
В качестве упражнения рекомендуется самостоя-
тельно сформулировать и доказать аналогичные утвержде-
ния для невозрастающих функций.
3.7. Бесконечно малые и бесконечно
большие функции
Пусть
α
(х) и
β
(х) – бесконечно малые функции при х
а. Рассмотрим отношение
)(
)(
x
x
α
β
в предположении, что
α
(х) 0 при х, достаточно близких к а. Если
=
,0
)(
)(
lim k
x
x
ax
α
β
, то
α
(х) и
β
(х) называются бесконечно
малыми одного порядка. Если
0
)(
)(
lim =
x
x
ax
α
β
, то бесконечно