Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 30 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

2)
2
2
2
lim
2
sin2
lim
1cos
lim
)1cos1ln(
)1ln(
lim
cosln
)1ln(
lim
2
2
0
2
2
0
2
0
2
0
2
0
=
=
=
=
=
+
+
=
+
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
xxx
3)
(
)
1
1
1
lim
ln
1sin
lim
1
1
1
1
=
=
+
x
e
x
e
x
x
x
x
.
И наконец, из критерия вытекает также свойство
транзитивности эквивалентных бесконечно малых: если
α
~
β
и
β
~
γ
, то
α
~
γ
. В самом деле, 1limlim ==
α
β
β
γ
α
γ
.
Пусть теперь
+
=
=
)(lim)(lim xx
axax
ψ
ϕ
, т. е. величины
ϕ
и
ψ
являются бесконечно большими при х а.
Если
=
,0
)(
)(
lim k
x
x
ax
ϕ
ψ
, то
ϕ
и
ψ
считаются беско-
нечно большими одного порядка. Если отношение
ϕ
ψ
само
является бесконечно большой, то
ψ
бесконечно большая
высшего порядка по сравнению с
ϕ
и наоборот. Если отно-
шение
ϕ
ψ
не имеет предела, то величины
ϕ
и
ψ
несравнимы.
Бесконечно большая
ψ
называется величиной р-го порядка
(относительно
ϕ
), если величины
ψ
и
ϕ
р
являются беско-
нечно большими одного порядка, т. е. если
= ,0lim k
p
ϕ
ψ
.
Нет необходимости рассматривать примеры, так как
в рассмотренных выше примерах достаточно заменить бес-
конечно малые на обратные им. Отметим только, что при х
+
бесконечно большая а
х
(а > 1) будет высшего порядка,
а бесконечно большая )1(log >ax
a
низшего порядка по
сравнению с любой степенью x
k
(k > 0)(см. примеры 3,4 из
§ 5).
3.8. Непрерывность функции в точке
Одним из важных понятий математического анализа,
наряду с понятием предела, является понятие непрерывно-
сти функций.
Определение 1. Функция y = f(x) называется непре-
рывной в точке х
0
, если она определена в некоторой окрест-
ности этой точки (и в самой этой точке) и если
[
]
0)()(limlim
00
00
=
+
=
xfxxfy
xx
(1).
Если в равенстве (1) положить xxx +
=
0
, то оно
примет вид:
)()(lim
0
0
xfxf
xx
. Значит, исходя из определе-
ния предела функции, можно сформулировать понятие не-
прерывности на языке
ε
-
δ
”: функция y = f(x) называется
непрерывной в точке х
0
, если она определена в некоторой
окрестности этой точки (и в самой этой точке) и если
ε
>0
δ
=
δ
(
ε
): |x-x
0
| <
δ
|f(x)-f(x
0
)| <
ε
.
Учитывая определение 2 предела функции, сформу-
лируем определение 2, эквивалентное первому: функция y =
f(x) непрерывна в точке х
0
, если для любой последователь-
ности {x
n
}, сходящейся к х
0
, )()(lim
0
0
xfxf
n
xx
n
=
.
Из свойства 4 предела функции вытекает теорема 1:
Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х
0
, то будут
непрерывны в этой точке и функции f(x) ± g(x), f(x) g(x) и
(если g(x
0
)≠0)
)(
)(
xg
xf
.