Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 30 стр.

           ln(1 + x 2 )            ln(1 + x 2 )              x2                конечно малые на обратные им. Отметим только, что при х
      lim               = lim                     = lim             =          →+∞ бесконечно большая ах (а > 1) будет высшего порядка,
      x → 0 ln cos x      x → 0 ln(1 + cos x − 1)   x → 0 cos x − 1
                                                                               а бесконечно большая log a x (a > 1) – низшего порядка по
2)                 x2                   x2                                     сравнению с любой степенью xk (k > 0)(см. примеры 3,4 из
      = lim                 = − lim                 = −2
         x →0           x
                        2      x →0     x
                                              2
                                                                               § 5).
                − 2 sin               2 
                        2              2
                                                                                        3.8. Непрерывность функции в точке
3) lim
            (
        sin e x +1 − 1  )
                       = lim
                              e x −1 − 1
                                         =1.
                                                                                      Одним из важных понятий математического анализа,
                                                                               наряду с понятием предела, является понятие непрерывно-
   x →1     ln x          x →1 x − 1
                                                                               сти функций.
         И наконец, из критерия вытекает также свойство
                                                                                      Определение 1. Функция y = f(x) называется непре-
транзитивности эквивалентных бесконечно малых: если α ~                        рывной в точке х0, если она определена в некоторой окрест-
                                                     γ      γ β                ности этой точки (и в самой этой точке) и если
β и β ~ γ, то α ~ γ. В самом деле, lim                 = lim ⋅ = 1 .
                                                     α      β α                 lim ∆y = lim [ f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )] = 0 (1).
                                                                               ∆x →0    ∆x →0
         Пусть теперь lim ϕ ( x) = limψ ( x) = +∞ , т. е. величины
                             x →a            x →a                                    Если в равенстве (1) положить x = x0 + ∆x , то оно
ϕ и ψ являются бесконечно большими при х → а.                                  примет вид: lim f ( x) = f ( x0 ) . Значит, исходя из определе-
                 ψ ( x)                                                                         x → x0
       Если lim         = k ≠ 0, ∞ , то ϕ и ψ считаются беско-                 ния предела функции, можно сформулировать понятие не-
             x→a ϕ ( x)
                                                                               прерывности на языке “ε - δ ”: функция y = f(x) называется
                                                      ψ
нечно большими одного порядка. Если отношение            само                  непрерывной в точке х0, если она определена в некоторой
                                                       ϕ                       окрестности этой точки (и в самой этой точке) и если
является бесконечно большой, то ψ – бесконечно большая                         ∀ε>0 ∃δ = δ(ε): |x-x0| < δ ⇒ |f(x)-f(x0)| < ε.
высшего порядка по сравнению с ϕ и наоборот. Если отно-                               Учитывая определение 2 предела функции, сформу-
       ψ                                                                       лируем определение 2, эквивалентное первому: функция y =
шение     не имеет предела, то величины ϕ и ψ несравнимы.
       ϕ                                                                       f(x) непрерывна в точке х0, если для любой последователь-
Бесконечно большая ψ называется величиной р-го порядка                         ности {xn}, сходящейся к х0, lim f ( xn ) = f ( x0 ) .
                                                                                                             xn → x0
(относительно ϕ), если величины ψ и ϕ р являются беско-                               Из свойства 4 предела функции вытекает теорема 1:
нечно         большими         одного             порядка,   т.   е.    если   Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х0, то будут
      ψ                                                                        непрерывны в этой точке и функции f(x) ± g(x), f(x) ⋅ g(x) и
lim      = k ≠ 0, ∞ .
      ϕp                                                                                      f ( x)
                                                                               (если g(x0)≠0)        .
      Нет необходимости рассматривать примеры, так как                                        g ( x)
в рассмотренных выше примерах достаточно заменить бес-