Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 32 стр.

случае говорят, что функция f(x) в точке х0 справа (слева)                            1x
                                                                                     
имеет скачок, по величине равный f(х0 + 0) - f(х0) (f(х0 - 0) -        5.   f ( x) = a при x ≠ 0,     (а > 1).
f(х0))). Если f(х0 + 0) или f(х0 - 0) равен ∞ или не существует,                     0 при x = 0
то х0 – точка разрыва второго рода. Может случиться так,                                     1
что существуют конечные равные между собой пределы f(х0                     f (+0) = lim a = +∞ , f(-0) = 0. значит, в точке х = 0
                                                                                             x
                                                                                    x → +0
+ 0) или f(х0 - 0), но в точке х = х0 функция f(х) не определе-
на. В этом случае точку х0 называют точкой устранимого              справа – разрыв второго рода, слева функция непрерывна.
разрыва, имея в виду, что если доопределить функцию в
точке х0, положив f(х0 ) = f(х0 + 0) = f(х0 - 0), то функция f(х)               3.10. Непрерывность и разрывы
становится непрерывной в этой точке.                                                 монотонных функций
         Ясно, что если х0 – левый (правый) конец промежут-
ка Х, в котором определена функция f(х), то можно говорить                  Из доказанной в 3.6 теоремы следует, что монотон-
о непрерывности или разрыве справа (слева). Если же х0 –            ная на отрезке [a, b] функция f(x) может иметь на нем точки
внутренняя точка промежутка Х, т. е. не совпадает ни с од-          разрыва лишь первого рода.
ним из его концов, то непрерывность функции в этой точке                    В самом деле, если точка х0 является одним из кон-
равносильна ее непрерывности одновременно справа и сле-             цов отрезка [a, b], то утверждение вытекает непосредствен-
ва.                                                                 но из теоремы. Если же х0 – внутренняя точка интервала (a,
         Примеры разрывных функций.                                 b), то теорему надо применить отдельно к отрезкам [a, х0] и
                                                                    [х0, b], на каждом из которых функция будет монотонной.
   1. f(х) = [x]. Для всех нецелых значений х, т. е. х ∈ (m,        При этом, если функция является неубывающей, то
      m+1) функция непрерывна, при х = m f(x) непрерывна                     f(х0 - 0)≤ f(х0) ≤ f(х0 + 0).
      справа, а слева имеет разрыв первого рода.                            Теперь легко установить критерий непрерывности
               1                                                    монотонных функций: Если значения неубывающей (невоз-
   2. f ( x) = . В точке х = 0 функция имеет разрыв второ-
               x                                                    растающей) на отрезке [a, b] функции f(х) сплошь заполня-
      го рода справа и слева, т. к. f(+0) = +∞, f(-0) = -∞.         ют некоторый отрезок [c, d] (т. е. каждое значение у ∈ [c, d]
                   1                                                принимается функцией хотя бы один раз), то f(х) непрерыв-
   3. f ( x) = sin (при х ≠ 0). В точке х = 0 функция имеет         на в каждой точке отрезка [a, b] (в точках a и b подразуме-
                   x
      разрыв второго рода справа и слева, так как оба од-           вается односторонняя непрерывность).
      носторонних предела не существуют.                                    Действительно, если в точке х0 ∈(a, b) функция имеет
                     1                                              разрыв, например, слева, то это может быть только скачок,
   4. f ( x) = x sin (при х ≠ 0). Точка х = 0 – точка устра-        значит, существует предел f(х0 - 0), причем f(х0 - 0) < f(х0), а
                     x
                                                                    тогда при x < x0 f(х) ≤ f(х0 - 0), при x > x0 f(х) ≥ f(х0), т. е.
      нимого разрыва, так как lim f ( x) = 0 .
                                  x →0                              значения у, лежащие между числами f(х0 - 0) и f(х0), функци-
                                                                    ей не принимаются, что противоречит условию.