Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 32 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

случае говорят, что функция f(x) в точке х
0
справа (слева)
имеет скачок, по величине равный f(х
0
+ 0) - f(х
0
) (f(х
0
- 0) -
f(х
0
))). Если f(х
0
+ 0) или f(х
0
- 0) равен
или не существует,
то х
0
точка разрыва второго рода. Может случиться так,
что существуют конечные равные между собой пределы f(х
0
+ 0) или f(х
0
- 0), но в точке х = х
0
функция f(х) не определе-
на. В этом случае точку х
0
называют точкой устранимого
разрыва, имея в виду, что если доопределить функцию в
точке х
0
, положив f(х
0
) = f(х
0
+ 0) = f(х
0
- 0), то функция f(х)
становится непрерывной в этой точке.
Ясно, что если х
0
левый (правый)
конец промежут-
ка Х, в котором определена функция f(х), то можно говорить
о непрерывности или разрыве справа (слева). Если же х
0
внутренняя точка промежутка Х, т. е. не совпадает ни с од-
ним из его концов, то непрерывность функции в этой точке
равносильна ее непрерывности одновременно справа и сле-
ва.
Примеры разрывных функций.
1. f(х) = [x]. Для всех нецелых значений х, т. е. х (m,
m+1) функция непрерывна, при х = m f(x) непрерывна
справа, а слева имеет разрыв первого рода.
2.
x
xf
1
)( = . В точке х = 0 функция имеет разрыв второ-
го рода справа и слева, т. к. f(+0) = +
, f(-0) = -
.
3.
x
xf
1
sin)( = (при х 0). В точке х = 0 функция имеет
разрыв второго рода справа и слева, так как оба од-
носторонних предела не существуют.
4.
x
xxf
1
sin)( = (при х 0). Точка х = 0 – точка устра-
нимого разрыва, так как 0)(lim
0
=
xf
x
.
5.
=
=
00
,0
)(
1
xпри
xприa
xf
x
(а > 1).
+∞==+
+
x
x
af
1
0
lim)0( , f(-0) = 0. значит, в точке х = 0
справаразрыв второго рода, слева функция непрерывна.
3.10. Непрерывность и разрывы
монотонных функций
Из доказанной в 3.6 теоремы следует, что монотон-
ная на отрезке [a, b] функция f(x) может иметь на нем точки
разрыва лишь первого рода.
В самом деле, если точка х
0
является одним из кон-
цов отрезка [a, b], то утверждение вытекает непосредствен-
но из теоремы. Если же х
0
внутренняя точка интервала (a,
b), то теорему надо применить отдельно к отрезкам [a, х
0
] и
[х
0
, b], на каждом из которых функция будет монотонной.
При этом, если функция является неубывающей, то
f(х
0
- 0) f(х
0
) f(х
0
+ 0).
Теперь легко установить критерий непрерывности
монотонных функций: Если значения неубывающей (невоз-
растающей) на отрезке [a, b] функции f(х) сплошь заполня-
ют некоторый отрезок [c, d] (т. е. каждое значение у [c, d]
принимается функцией хотя бы один раз), то f(х) непрерыв-
на в каждой точке отрезка [a, b] (в точках a и b подразуме-
вается односторонняя непрерывность).
Действительно, если в точке х
0
(a, b) функция имеет
разрыв, например, слева, то это может быть только скачок,
значит, существует предел f(х
0
- 0), причем f(х
0
- 0) < f(х
0
), а
тогда при x < x
0
f(х) f(х
0
- 0), при x > x
0
f(х) f(х
0
), т. е.
значения у, лежащие между числами f(х
0
- 0) и f(х
0
), функци-
ей не принимаются, что противоречит условию.