ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
случае говорят, что функция f(x) в точке х
0
справа (слева)
имеет скачок, по величине равный f(х
0
+ 0) - f(х
0
) (f(х
0
- 0) -
f(х
0
))). Если f(х
0
+ 0) или f(х
0
- 0) равен
∞
или не существует,
то х
0
– точка разрыва второго рода. Может случиться так,
что существуют конечные равные между собой пределы f(х
0
+ 0) или f(х
0
- 0), но в точке х = х
0
функция f(х) не определе-
на. В этом случае точку х
0
называют точкой устранимого
разрыва, имея в виду, что если доопределить функцию в
точке х
0
, положив f(х
0
) = f(х
0
+ 0) = f(х
0
- 0), то функция f(х)
становится непрерывной в этой точке.
Ясно, что если х
0
– левый (правый)
конец промежут-
ка Х, в котором определена функция f(х), то можно говорить
о непрерывности или разрыве справа (слева). Если же х
0
–
внутренняя точка промежутка Х, т. е. не совпадает ни с од-
ним из его концов, то непрерывность функции в этой точке
равносильна ее непрерывности одновременно справа и сле-
ва.
Примеры разрывных функций.
1. f(х) = [x]. Для всех нецелых значений х, т. е. х ∈ (m,
m+1) функция непрерывна, при х = m f(x) непрерывна
справа, а слева имеет разрыв первого рода.
2.
x
xf
1
)( = . В точке х = 0 функция имеет разрыв второ-
го рода справа и слева, т. к. f(+0) = +
∞
, f(-0) = -
∞
.
3.
x
xf
1
sin)( = (при х ≠ 0). В точке х = 0 функция имеет
разрыв второго рода справа и слева, так как оба од-
носторонних предела не существуют.
4.
x
xxf
1
sin)( = (при х ≠ 0). Точка х = 0 – точка устра-
нимого разрыва, так как 0)(lim
0
=
→
xf
x
.
5.
=
≠
=
00
,0
)(
1
xпри
xприa
xf
x
(а > 1).
+∞==+
+→
x
x
af
1
0
lim)0( , f(-0) = 0. значит, в точке х = 0
справа – разрыв второго рода, слева функция непрерывна.
3.10. Непрерывность и разрывы
монотонных функций
Из доказанной в 3.6 теоремы следует, что монотон-
ная на отрезке [a, b] функция f(x) может иметь на нем точки
разрыва лишь первого рода.
В самом деле, если точка х
0
является одним из кон-
цов отрезка [a, b], то утверждение вытекает непосредствен-
но из теоремы. Если же х
0
– внутренняя точка интервала (a,
b), то теорему надо применить отдельно к отрезкам [a, х
0
] и
[х
0
, b], на каждом из которых функция будет монотонной.
При этом, если функция является неубывающей, то
f(х
0
- 0)≤ f(х
0
) ≤ f(х
0
+ 0).
Теперь легко установить критерий непрерывности
монотонных функций: Если значения неубывающей (невоз-
растающей) на отрезке [a, b] функции f(х) сплошь заполня-
ют некоторый отрезок [c, d] (т. е. каждое значение у ∈ [c, d]
принимается функцией хотя бы один раз), то f(х) непрерыв-
на в каждой точке отрезка [a, b] (в точках a и b подразуме-
вается односторонняя непрерывность).
Действительно, если в точке х
0
∈(a, b) функция имеет
разрыв, например, слева, то это может быть только скачок,
значит, существует предел f(х
0
- 0), причем f(х
0
- 0) < f(х
0
), а
тогда при x < x
0
f(х) ≤ f(х
0
- 0), при x > x
0
f(х) ≥ f(х
0
), т. е.
значения у, лежащие между числами f(х
0
- 0) и f(х
0
), функци-
ей не принимаются, что противоречит условию.
случае говорят, что функция f(x) в точке х0 справа (слева) 1x
имеет скачок, по величине равный f(х0 + 0) - f(х0) (f(х0 - 0) - 5. f ( x) = a при x ≠ 0, (а > 1).
f(х0))). Если f(х0 + 0) или f(х0 - 0) равен ∞ или не существует, 0 при x = 0
то х0 – точка разрыва второго рода. Может случиться так, 1
что существуют конечные равные между собой пределы f(х0 f (+0) = lim a = +∞ , f(-0) = 0. значит, в точке х = 0
x
x → +0
+ 0) или f(х0 - 0), но в точке х = х0 функция f(х) не определе-
на. В этом случае точку х0 называют точкой устранимого справа – разрыв второго рода, слева функция непрерывна.
разрыва, имея в виду, что если доопределить функцию в
точке х0, положив f(х0 ) = f(х0 + 0) = f(х0 - 0), то функция f(х) 3.10. Непрерывность и разрывы
становится непрерывной в этой точке. монотонных функций
Ясно, что если х0 – левый (правый) конец промежут-
ка Х, в котором определена функция f(х), то можно говорить Из доказанной в 3.6 теоремы следует, что монотон-
о непрерывности или разрыве справа (слева). Если же х0 – ная на отрезке [a, b] функция f(x) может иметь на нем точки
внутренняя точка промежутка Х, т. е. не совпадает ни с од- разрыва лишь первого рода.
ним из его концов, то непрерывность функции в этой точке В самом деле, если точка х0 является одним из кон-
равносильна ее непрерывности одновременно справа и сле- цов отрезка [a, b], то утверждение вытекает непосредствен-
ва. но из теоремы. Если же х0 – внутренняя точка интервала (a,
Примеры разрывных функций. b), то теорему надо применить отдельно к отрезкам [a, х0] и
[х0, b], на каждом из которых функция будет монотонной.
1. f(х) = [x]. Для всех нецелых значений х, т. е. х ∈ (m, При этом, если функция является неубывающей, то
m+1) функция непрерывна, при х = m f(x) непрерывна f(х0 - 0)≤ f(х0) ≤ f(х0 + 0).
справа, а слева имеет разрыв первого рода. Теперь легко установить критерий непрерывности
1 монотонных функций: Если значения неубывающей (невоз-
2. f ( x) = . В точке х = 0 функция имеет разрыв второ-
x растающей) на отрезке [a, b] функции f(х) сплошь заполня-
го рода справа и слева, т. к. f(+0) = +∞, f(-0) = -∞. ют некоторый отрезок [c, d] (т. е. каждое значение у ∈ [c, d]
1 принимается функцией хотя бы один раз), то f(х) непрерыв-
3. f ( x) = sin (при х ≠ 0). В точке х = 0 функция имеет на в каждой точке отрезка [a, b] (в точках a и b подразуме-
x
разрыв второго рода справа и слева, так как оба од- вается односторонняя непрерывность).
носторонних предела не существуют. Действительно, если в точке х0 ∈(a, b) функция имеет
1 разрыв, например, слева, то это может быть только скачок,
4. f ( x) = x sin (при х ≠ 0). Точка х = 0 – точка устра- значит, существует предел f(х0 - 0), причем f(х0 - 0) < f(х0), а
x
тогда при x < x0 f(х) ≤ f(х0 - 0), при x > x0 f(х) ≥ f(х0), т. е.
нимого разрыва, так как lim f ( x) = 0 .
x →0 значения у, лежащие между числами f(х0 - 0) и f(х0), функци-
ей не принимаются, что противоречит условию.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- …
- следующая ›
- последняя »
