Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 31 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 2. Пусть функция
ϕ
(у) определена на мно-
жестве Y значений функции f(x). Тогда если функция f(x)
непрерывна в точке х
0
, а
ϕ
(у) непрерывна в соответствую-
щей точке у
0
= f(x
0
), то сложная функция
ϕ
(f(x)) будет непре-
рывна в точке х
0
.
Доказательство. Возьмем произвольное
ε
>0, по не-
му, в силу непрерывности
ϕ
(у) в точке у
0
= f(x
0
) можно
найти
σ
> 0 такое, что из |у-у
0
| <
σ
следует |
ϕ
(у)-
ϕ
(у
0
)| <
ε
.
В силу непрерывности f(x) в точке х
0
, по найденному
σ
можно подобрать такое
δ
> 0, что из |х-х
0
| <
δ
следует |f(x)-
f(x
0
)| = | f(x)-у
0
| <
σ
. Отсюда следует, что для взятого
ε
> 0 из
неравенства |х-х
0
| <
ε
вытекает |
ϕ
(f(x)) -
ϕ
(у
0
)| = |
ϕ
(f(x)) -
ϕ
(f(x
0
))| <
ε
, а это и означает непрерывность функции
ϕ
(f(x))
в точке х
0
.
Примеры непрерывных функций.
1) Функция f(x) = х непрерывна х, так как если х
n
x
0
, то f(x
n
) = x
n
x
0
= f(x
0
). Очевидно, является непрерывной
во всех точках и функция f(x)= С, так как х
у = f(x+
х) -
f(x) = СС = 0. поэтому, в силу теоремы 1, будут непре-
рывными любой одночлен ах
n
и многочлен Р(х). Дробно-
рациональная функция
)(
)(
xQ
xP
будет непрерывной при всех
значениях х, при которых
0)(
xQ
.
2) f(x) = а
х
. Достаточно ограничиться случаем а > 1.
Так как
1lim
0
=
x
x
a и а
0
= 1, то функция а
х
непрерывна в точке
х = 0. Пусть теперь х
0
любое значение,
(
)
1
000
=
xxxx
x
aaaa , при
0
xx
1
0
xx
a
, значит,
0
0
x
x
aa , т. е.
0
0
lim
x
x
xx
aa =
, значит, функция а
х
непре-
рывна при всех значениях х. В частности, будет непрерыв-
ной при всех х функция е
х
, а вместе с ней непрерывными
будут и гиперболические функции.
3)
f(x) = sin х. Легко видеть, что для всех значений
х |sin x| |x|. Поэтому
0
0
00
0
2
2
2
cos
2
sin2sinsin xx
xx
xxxx
xx =
+
= .
Для любого
ε
>0 положим
δ
=
ε
, тогда при |
0
xx
| <
δ
будет
выполняться неравенство |sin x – sin x
0
| <
ε
, что и доказыва-
ет непрерывность функции sin x при любом значении х.
Будет непрерывной при всех х и функция f(x) = cos х,
как суперпозиция функций у = sin u,
xu =
2
π
. Отсюда вы-
текает непрерывность функций tg x, sec x (при
()
2
12
π
+ kx ) и ctg x, cosec x (при x k
π
).
3.9. Односторонняя непрерывность.
Классификация точек разрыва
Будем говорить, что функция f(x) непрерывна в точке
х
0
справа (слева), если
====+
+
)()(lim)0()()(lim)0(
0
0
00
0
0
00
xfxfxfxfxfxf
xxxx
(1). Если же то или другое из соотношений (1) не выпол-
няется, то говорят, что функция f(x) в точке х
0
имеет разрыв
(справа или слева). При этом, если f(х
0
+ 0) (f(х
0
- 0)) сущест-
вует, но f(х
0
+ 0) f(х
0
) (f(х
0
- 0) f(х
0
)), то такой разрыв на-
зывается обыкновенным или разрывом первого рода (в этом