ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Теорема 2. Пусть функция
ϕ
(у) определена на мно-
жестве Y значений функции f(x). Тогда если функция f(x)
непрерывна в точке х
0
, а
ϕ
(у) непрерывна в соответствую-
щей точке у
0
= f(x
0
), то сложная функция
ϕ
(f(x)) будет непре-
рывна в точке х
0
.
Доказательство. Возьмем произвольное
ε
>0, по не-
му, в силу непрерывности
ϕ
(у) в точке у
0
= f(x
0
) можно
найти
σ
> 0 такое, что из |у-у
0
| <
σ
следует |
ϕ
(у)-
ϕ
(у
0
)| <
ε
.
В силу непрерывности f(x) в точке х
0
, по найденному
σ
можно подобрать такое
δ
> 0, что из |х-х
0
| <
δ
следует |f(x)-
f(x
0
)| = | f(x)-у
0
| <
σ
. Отсюда следует, что для взятого
ε
> 0 из
неравенства |х-х
0
| <
ε
вытекает |
ϕ
(f(x)) -
ϕ
(у
0
)| = |
ϕ
(f(x)) -
ϕ
(f(x
0
))| <
ε
, а это и означает непрерывность функции
ϕ
(f(x))
в точке х
0
.
Примеры непрерывных функций.
1) Функция f(x) = х непрерывна ∀х, так как если х
n
→
x
0
, то f(x
n
) = x
n
→ x
0
= f(x
0
). Очевидно, является непрерывной
во всех точках и функция f(x)= С, так как ∀х
∆
у = f(x+
∆
х) -
f(x) = С – С = 0. поэтому, в силу теоремы 1, будут непре-
рывными любой одночлен ах
n
и многочлен Р(х). Дробно-
рациональная функция
)(
)(
xQ
xP
будет непрерывной при всех
значениях х, при которых
0)(
≠
xQ
.
2) f(x) = а
х
. Достаточно ограничиться случаем а > 1.
Так как
1lim
0
=
→
x
x
a и а
0
= 1, то функция а
х
непрерывна в точке
х = 0. Пусть теперь х
0
– любое значение,
(
)
1
000
−=−
−xxxx
x
aaaa , при
0
xx →
1
0
→
−xx
a
, значит,
0
0
→−
x
x
aa , т. е.
0
0
lim
x
x
xx
aa =
→
, значит, функция а
х
непре-
рывна при всех значениях х. В частности, будет непрерыв-
ной при всех х функция е
х
, а вместе с ней непрерывными
будут и гиперболические функции.
3)
f(x) = sin х. Легко видеть, что для всех значений
х |sin x| ≤ |x|. Поэтому
0
0
00
0
2
2
2
cos
2
sin2sinsin xx
xx
xxxx
xx −=
−
≤
+−
=− .
Для любого
ε
>0 положим
δ
=
ε
, тогда при |
0
xx
−
| <
δ
будет
выполняться неравенство |sin x – sin x
0
| <
ε
, что и доказыва-
ет непрерывность функции sin x при любом значении х.
Будет непрерывной при всех х и функция f(x) = cos х,
как суперпозиция функций у = sin u,
xu −=
2
π
. Отсюда вы-
текает непрерывность функций tg x, sec x (при
()
2
12
π
+≠ kx ) и ctg x, cosec x (при x ≠ k
π
).
3.9. Односторонняя непрерывность.
Классификация точек разрыва
Будем говорить, что функция f(x) непрерывна в точке
х
0
справа (слева), если
==−==+
−→+→
)()(lim)0()()(lim)0(
0
0
00
0
0
00
xfxfxfxfxfxf
xxxx
(1). Если же то или другое из соотношений (1) не выпол-
няется, то говорят, что функция f(x) в точке х
0
имеет разрыв
(справа или слева). При этом, если f(х
0
+ 0) (f(х
0
- 0)) сущест-
вует, но f(х
0
+ 0) ≠ f(х
0
) (f(х
0
- 0) ≠ f(х
0
)), то такой разрыв на-
зывается обыкновенным или разрывом первого рода (в этом
Теорема 2. Пусть функция ϕ(у) определена на мно- рывна при всех значениях х. В частности, будет непрерыв- жестве Y значений функции f(x). Тогда если функция f(x) ной при всех х функция ех, а вместе с ней непрерывными непрерывна в точке х0, а ϕ(у) непрерывна в соответствую- будут и гиперболические функции. щей точке у0= f(x0), то сложная функция ϕ(f(x)) будет непре- рывна в точке х0. 3) f(x) = sin х. Легко видеть, что для всех значений Доказательство. Возьмем произвольное ε>0, по не- х |sin x| ≤ |x|. Поэтому му, в силу непрерывности ϕ(у) в точке у0 = f(x0) можно найти σ > 0 такое, что из |у-у0| < σ следует |ϕ(у)- ϕ(у0)| < ε. x − x0 x − x0 x + x0 В силу непрерывности f(x) в точке х0, по найденному σ sin x − sin x 0 = 2 sin cos ≤2 = x − x0 . можно подобрать такое δ > 0, что из |х-х0| < δ следует |f(x)- 2 2 2 f(x0)| = | f(x)-у0| < σ. Отсюда следует, что для взятого ε > 0 из Для любого ε>0 положим δ = ε, тогда при | x − x0 | < δ будет неравенства |х-х0| < ε вытекает |ϕ(f(x)) - ϕ(у0)| = |ϕ(f(x)) - выполняться неравенство |sin x – sin x0| < ε, что и доказыва- ϕ(f(x0))| < ε, а это и означает непрерывность функции ϕ(f(x)) ет непрерывность функции sin x при любом значении х. в точке х0. Будет непрерывной при всех х и функция f(x) = cos х, π Примеры непрерывных функций. как суперпозиция функций у = sin u, u = − x . Отсюда вы- 2 текает непрерывность функций tg x, sec x (при 1) Функция f(x) = х непрерывна ∀х, так как если хn → π x0, то f(xn) = xn → x0 = f(x0). Очевидно, является непрерывной x ≠ (2k + 1) ) и ctg x, cosec x (при x ≠ kπ). 2 во всех точках и функция f(x)= С, так как ∀х ∆у = f(x+∆х) - f(x) = С – С = 0. поэтому, в силу теоремы 1, будут непре- рывными любой одночлен ахn и многочлен Р(х). Дробно- 3.9. Односторонняя непрерывность. P( x) Классификация точек разрыва рациональная функция будет непрерывной при всех Q( x) Будем говорить, что функция f(x) непрерывна в точке значениях х, при которых Q( x) ≠ 0 . х0 справа (слева), если 2) f(x) = ах. Достаточно ограничиться случаем а > 1. f ( x0 + 0) = lim f ( x) = f ( x0 ) f ( x0 − 0) = lim f ( x) = f ( x0 ) x → x0 + 0 x → x0 −0 Так как lim a x = 1 и а0= 1, то функция ах непрерывна в точке x →0 (1). Если же то или другое из соотношений (1) не выпол- х = 0. Пусть теперь х0 – любое значение, няется, то говорят, что функция f(x) в точке х0 имеет разрыв ( ) a x − a x0 = a x0 a x −x0 − 1 , при x → x0 a x −x0 → 1 , значит, (справа или слева). При этом, если f(х0 + 0) (f(х0 - 0)) сущест- вует, но f(х0 + 0) ≠ f(х0) (f(х0 - 0) ≠ f(х0)), то такой разрыв на- a x − a x0 → 0 , т. е. xlim →x a x = a x , значит, функция ах непре- 0 зывается обыкновенным или разрывом первого рода (в этом 0
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- …
- следующая ›
- последняя »