Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 31 стр.

         Теорема 2. Пусть функция ϕ(у) определена на мно-              рывна при всех значениях х. В частности, будет непрерыв-
жестве Y значений функции f(x). Тогда если функция f(x)                ной при всех х функция ех, а вместе с ней непрерывными
непрерывна в точке х0, а ϕ(у) непрерывна в соответствую-               будут и гиперболические функции.
щей точке у0= f(x0), то сложная функция ϕ(f(x)) будет непре-
рывна в точке х0.                                                            3) f(x) = sin х. Легко видеть, что для всех значений
         Доказательство. Возьмем произвольное ε>0, по не-
                                                                       х |sin x| ≤ |x|. Поэтому
му, в силу непрерывности ϕ(у) в точке у0 = f(x0) можно
найти σ > 0 такое, что из |у-у0| < σ следует |ϕ(у)- ϕ(у0)| < ε.                                                 x − x0
                                                                                          x − x0     x + x0
В силу непрерывности f(x) в точке х0, по найденному σ                  sin x − sin x 0 = 2 sin   cos        ≤2         = x − x0 .
можно подобрать такое δ > 0, что из |х-х0| < δ следует |f(x)-                               2          2          2
f(x0)| = | f(x)-у0| < σ. Отсюда следует, что для взятого ε > 0 из      Для любого ε>0 положим δ = ε, тогда при | x − x0 | < δ будет
неравенства |х-х0| < ε вытекает |ϕ(f(x)) - ϕ(у0)| = |ϕ(f(x)) -         выполняться неравенство |sin x – sin x0| < ε, что и доказыва-
ϕ(f(x0))| < ε, а это и означает непрерывность функции ϕ(f(x))          ет непрерывность функции sin x при любом значении х.
в точке х0.                                                                   Будет непрерывной при всех х и функция f(x) = cos х,
                                                                                                                             π
        Примеры непрерывных функций.                                   как суперпозиция функций у = sin u, u =                 − x . Отсюда вы-
                                                                                                                             2
                                                                       текает      непрерывность            функций         tg x, sec x (при
         1) Функция f(x) = х непрерывна ∀х, так как если хn →                         π
x0, то f(xn) = xn → x0 = f(x0). Очевидно, является непрерывной         x ≠ (2k + 1)       ) и ctg x, cosec x (при x ≠ kπ).
                                                                                      2
во всех точках и функция f(x)= С, так как ∀х ∆у = f(x+∆х) -
f(x) = С – С = 0. поэтому, в силу теоремы 1, будут непре-
рывными любой одночлен ахn и многочлен Р(х). Дробно-                               3.9. Односторонняя непрерывность.
                             P( x)                                                    Классификация точек разрыва
рациональная функция               будет непрерывной при всех
                             Q( x)
                                                                                 Будем говорить, что функция f(x) непрерывна в точке
значениях х, при которых Q( x) ≠ 0 .
                                                                       х0 справа (слева), если
       2) f(x) = ах. Достаточно ограничиться случаем а > 1.             f ( x0 + 0) = lim f ( x) = f ( x0 )  f ( x0 − 0) = lim f ( x) = f ( x0 ) 
                                                                                     x → x0 + 0                            x → x0 −0               
Так как lim a x = 1 и а0= 1, то функция ах непрерывна в точке
          x →0                                                              (1). Если же то или другое из соотношений (1) не выпол-
х = 0. Пусть теперь                   х0 –     любое значение,         няется, то говорят, что функция f(x) в точке х0 имеет разрыв
                 (       )
a x − a x0 = a x0 a x −x0 − 1 , при   x → x0   a x −x0 → 1 , значит,   (справа или слева). При этом, если f(х0 + 0) (f(х0 - 0)) сущест-
                                                                       вует, но f(х0 + 0) ≠ f(х0) (f(х0 - 0) ≠ f(х0)), то такой разрыв на-
a x − a x0 → 0 , т. е. xlim
                         →x
                            a x = a x , значит, функция ах непре-
                                      0
                                                                       зывается обыкновенным или разрывом первого рода (в этом
                             0