Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 33 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

Замечание: Сформулированный критерий (с некото-
рыми оговорками) справедлив и для бесконечных проме-
жутков.
С помощью этого критерия можно установить не-
прерывность остальных (в дополнение к рассмотренным в
§8) основных элементарных функций. Например, функция
f(x) = arcsin x непрерывна во всех точках отрезка [-1, 1], так
как она возрастает на этом отрезке, и ее значения сплошь
заполняют отрезок
2
,
2
ππ
.
Таким образом, все основные элементарные функции
непрерывны во всех точках, где они определены.
3.11. Функции, непрерывные на отрезке
Функция f(x) называется непрерывной на отрезке
[a, b], если она непрерывна в каждой точке интервала (a, b),
непрерывна справа в точке х = а и непрерывна слева в
точке х = b.
Первая теорема БольцаноКоши. Пусть функция
f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и f(a)f(b) < 0. Тогда най-
дется по крайней мере одна точка c (a, b) такая, что f(c) =
0.
Доказательство. Пусть для определенности f(a) < 0,
f(b) > 0. Разделим [a, b] пополам точкой
2
ba
+
; если
0
2
=
+ ba
f , то теорема доказана, так как можно положить
2
ba
c
+
= , если
0
2
+ ba
f
, то на концах одного из отрез-
ков
+
2
,
ba
a ,
+
b
ba
,
2
функция будет принимать значе-
ния разных знаков, обозначим его [a
1
, b
1
], ясно, что f(a
1
) < 0,
f(b
1
) > 0. Разделим [a
1
, b
1
] пополам; если 0
2
11
=
+ ba
f , то
теорема доказана, если
0
2
11
+ ba
f , то за [a
2
, b
2
] возьмем
ту из половинок отрезка [a
1
, b
1
], для которой f(a
2
) < 0, f(b
2
)
> 0. Продолжая так далее, мы либо после конечного числа
шагов придем в точку, в которой функция обращается в
нуль (и теорема доказана), либо получим бесконечную по-
следовательность вложенных отрезков {[a
n
, b
n
]} такую, что
f(a
n
) < 0, f(b
n
) > 0 (1) и
n
nn
ab
ab
2
= (2). Построенная по-
следовательность удовлетворяет лемме о вложенных отрез-
ках, так как, в силу (2), 0)lim(
=
nn
ab ; поэтому существует
точка с, принадлежащая всем отрезкам [a
n
, b
n
], для которой
cba
nn
=
=
limlim . Переходя в неравенствах (1) к пределу,
получим с учетом непрерывности 0)(lim)(:)(
=
n
afcfxf
и одновременно 0)(lim)(
=
n
bfcf , откуда f(c)=0, что и
требовалось доказать.
Замечания.
1. Требование непрерывности функции существенно.
Например, функция
[]
2
1
)( = xxf нигде не обращается в 0,
хотя
2
1
)0( =f ,
2
1
)1( =f .
2. Теорема имеет применение при решении уравне-
ний. Например, уравнение 4
х
= 8х имеет очевидный корень х
= 2; не столь очевиден корень, заключенный между числами
0 и
2
1
, его существование вытекает из непрерывности