ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Замечание: Сформулированный критерий (с некото- a +b
рыми оговорками) справедлив и для бесконечных проме- f(b1) > 0. Разделим [a1, b1] пополам; если f 1 1 = 0 , то
2
жутков.
С помощью этого критерия можно установить не- a +b
теорема доказана, если f 1 1 ≠ 0 , то за [a2, b2] возьмем
прерывность остальных (в дополнение к рассмотренным в 2
§8) основных элементарных функций. Например, функция ту из половинок отрезка [a1, b1], для которой f(a2) < 0, f(b2)
f(x) = arcsin x непрерывна во всех точках отрезка [-1, 1], так > 0. Продолжая так далее, мы либо после конечного числа
как она возрастает на этом отрезке, и ее значения сплошь шагов придем в точку, в которой функция обращается в
π π нуль (и теорема доказана), либо получим бесконечную по-
заполняют отрезок − , . следовательность вложенных отрезков {[an, bn]} такую, что
2 2
Таким образом, все основные элементарные функции b−a
f(an) < 0, f(bn) > 0 (1) и bn − an = n (2). Построенная по-
непрерывны во всех точках, где они определены. 2
следовательность удовлетворяет лемме о вложенных отрез-
3.11. Функции, непрерывные на отрезке ках, так как, в силу (2), lim(bn − an ) = 0 ; поэтому существует
Функция f(x) называется непрерывной на отрезке точка с, принадлежащая всем отрезкам [an, bn], для которой
[a, b], если она непрерывна в каждой точке интервала (a, b), lim an = lim bn = c . Переходя в неравенствах (1) к пределу,
непрерывна справа в точке х = а и непрерывна слева в получим с учетом непрерывности f ( x) : f (c) = lim f (an ) ≤ 0
точке х = b.
Первая теорема Больцано – Коши. Пусть функция и одновременно f (c) = lim f (bn ) ≥ 0 , откуда f(c)=0, что и
f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и f(a)⋅f(b) < 0. Тогда най- требовалось доказать.
дется по крайней мере одна точка c ∈ (a, b) такая, что f(c) =
0. Замечания.
Доказательство. Пусть для определенности f(a) < 0, 1. Требование непрерывности функции существенно.
1
f(b) > 0. Разделим [a, b] пополам точкой
a+b
; если Например, функция f ( x) = [x ] − нигде не обращается в 0,
2 2
1 1
a+b хотя f (0) = − , f (1) = .
f = 0 , то теорема доказана, так как можно положить 2 2
2
2. Теорема имеет применение при решении уравне-
a+b a+b ний. Например, уравнение 4х = 8х имеет очевидный корень х
c= , если f ≠ 0 , то на концах одного из отрез-
2 2 = 2; не столь очевиден корень, заключенный между числами
a + b a + b 0 и
1
, его существование вытекает из непрерывности
ков a, , , b функция будет принимать значе-
2 2 2
ния разных знаков, обозначим его [a1, b1], ясно, что f(a1) < 0,
