ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Замечание: Сформулированный критерий (с некото-
рыми оговорками) справедлив и для бесконечных проме-
жутков.
С помощью этого критерия можно установить не-
прерывность остальных (в дополнение к рассмотренным в
§8) основных элементарных функций. Например, функция
f(x) = arcsin x непрерывна во всех точках отрезка [-1, 1], так
как она возрастает на этом отрезке, и ее значения сплошь
заполняют отрезок
−
2
,
2
ππ
.
Таким образом, все основные элементарные функции
непрерывны во всех точках, где они определены.
3.11. Функции, непрерывные на отрезке
Функция f(x) называется непрерывной на отрезке
[a, b], если она непрерывна в каждой точке интервала (a, b),
непрерывна справа в точке х = а и непрерывна слева в
точке х = b.
Первая теорема Больцано – Коши. Пусть функция
f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и f(a)⋅f(b) < 0. Тогда най-
дется по крайней мере одна точка c ∈ (a, b) такая, что f(c) =
0.
Доказательство. Пусть для определенности f(a) < 0,
f(b) > 0. Разделим [a, b] пополам точкой
2
ba
+
; если
0
2
=
+ ba
f , то теорема доказана, так как можно положить
2
ba
c
+
= , если
0
2
≠
+ ba
f
, то на концах одного из отрез-
ков
+
2
,
ba
a ,
+
b
ba
,
2
функция будет принимать значе-
ния разных знаков, обозначим его [a
1
, b
1
], ясно, что f(a
1
) < 0,
f(b
1
) > 0. Разделим [a
1
, b
1
] пополам; если 0
2
11
=
+ ba
f , то
теорема доказана, если
0
2
11
≠
+ ba
f , то за [a
2
, b
2
] возьмем
ту из половинок отрезка [a
1
, b
1
], для которой f(a
2
) < 0, f(b
2
)
> 0. Продолжая так далее, мы либо после конечного числа
шагов придем в точку, в которой функция обращается в
нуль (и теорема доказана), либо получим бесконечную по-
следовательность вложенных отрезков {[a
n
, b
n
]} такую, что
f(a
n
) < 0, f(b
n
) > 0 (1) и
n
nn
ab
ab
2
−
=− (2). Построенная по-
следовательность удовлетворяет лемме о вложенных отрез-
ках, так как, в силу (2), 0)lim(
=
−
nn
ab ; поэтому существует
точка с, принадлежащая всем отрезкам [a
n
, b
n
], для которой
cba
nn
=
=
limlim . Переходя в неравенствах (1) к пределу,
получим с учетом непрерывности 0)(lim)(:)( ≤
=
n
afcfxf
и одновременно 0)(lim)( ≥
=
n
bfcf , откуда f(c)=0, что и
требовалось доказать.
Замечания.
1. Требование непрерывности функции существенно.
Например, функция
[]
2
1
)( −= xxf нигде не обращается в 0,
хотя
2
1
)0( −=f ,
2
1
)1( =f .
2. Теорема имеет применение при решении уравне-
ний. Например, уравнение 4
х
= 8х имеет очевидный корень х
= 2; не столь очевиден корень, заключенный между числами
0 и
2
1
, его существование вытекает из непрерывности
Замечание: Сформулированный критерий (с некото- a +b
рыми оговорками) справедлив и для бесконечных проме- f(b1) > 0. Разделим [a1, b1] пополам; если f 1 1 = 0 , то
2
жутков.
С помощью этого критерия можно установить не- a +b
теорема доказана, если f 1 1 ≠ 0 , то за [a2, b2] возьмем
прерывность остальных (в дополнение к рассмотренным в 2
§8) основных элементарных функций. Например, функция ту из половинок отрезка [a1, b1], для которой f(a2) < 0, f(b2)
f(x) = arcsin x непрерывна во всех точках отрезка [-1, 1], так > 0. Продолжая так далее, мы либо после конечного числа
как она возрастает на этом отрезке, и ее значения сплошь шагов придем в точку, в которой функция обращается в
π π нуль (и теорема доказана), либо получим бесконечную по-
заполняют отрезок − , . следовательность вложенных отрезков {[an, bn]} такую, что
2 2
Таким образом, все основные элементарные функции b−a
f(an) < 0, f(bn) > 0 (1) и bn − an = n (2). Построенная по-
непрерывны во всех точках, где они определены. 2
следовательность удовлетворяет лемме о вложенных отрез-
3.11. Функции, непрерывные на отрезке ках, так как, в силу (2), lim(bn − an ) = 0 ; поэтому существует
Функция f(x) называется непрерывной на отрезке точка с, принадлежащая всем отрезкам [an, bn], для которой
[a, b], если она непрерывна в каждой точке интервала (a, b), lim an = lim bn = c . Переходя в неравенствах (1) к пределу,
непрерывна справа в точке х = а и непрерывна слева в получим с учетом непрерывности f ( x) : f (c) = lim f (an ) ≤ 0
точке х = b.
Первая теорема Больцано – Коши. Пусть функция и одновременно f (c) = lim f (bn ) ≥ 0 , откуда f(c)=0, что и
f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и f(a)⋅f(b) < 0. Тогда най- требовалось доказать.
дется по крайней мере одна точка c ∈ (a, b) такая, что f(c) =
0. Замечания.
Доказательство. Пусть для определенности f(a) < 0, 1. Требование непрерывности функции существенно.
1
f(b) > 0. Разделим [a, b] пополам точкой
a+b
; если Например, функция f ( x) = [x ] − нигде не обращается в 0,
2 2
1 1
a+b хотя f (0) = − , f (1) = .
f = 0 , то теорема доказана, так как можно положить 2 2
2
2. Теорема имеет применение при решении уравне-
a+b a+b ний. Например, уравнение 4х = 8х имеет очевидный корень х
c= , если f ≠ 0 , то на концах одного из отрез-
2 2 = 2; не столь очевиден корень, заключенный между числами
a + b a + b 0 и
1
, его существование вытекает из непрерывности
ков a, , , b функция будет принимать значе-
2 2 2
ния разных знаков, обозначим его [a1, b1], ясно, что f(a1) < 0,
