Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 34 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

функции f(x) = 4
х
- 8х и из того, что
01)0( >
=
f
,
02
2
1
<=
f .
Вторая теорема БольцаноКоши. Пусть функция
f(x) непрерывна на [a, b], и f(a) = A, f(b) = B, причем А В.
тогда, каково бы ни было число С, лежащее между А и В
найдется по крайней мере одна точка с (a, b) такая, что
f(c) = C.
Доказательство. Пусть для определенности А < В,
так что А < С < В. Введем в рассмотрение функцию F(x) =
f(x) - C, она непрерывна на [a, b], причем F(а) = f(а) – C < 0,
F(b) = f(b) – C > 0, тогда, по доказанному найдется точка с
(a, b) такая, что F(c) = 0 или f(c) = C. Теорема доказана.
Теорема (о существовании обратной функции).
Пусть функция у = f(x) непрерывна на [a, b] и возрастает
(убывает) на нем, и пусть f([a, b]) = [c, d]. Тогда на [c, d]
существует однозначная обратная функция x = g(y), также
возрастающая (убывающая) и непрерывная.
Доказательство. Пусть f(x) возрастает на [a, b]. Ее
значения сплошь заполняют отрезок [c, d], поэтому для ка-
ждого у
0
[c, d] найдется значение х
0
[a, b] (притом, в си-
лу монотонности f(x), единственное) такое, что f(x
0
) = у
0
. со-
поставляя именно это х
0
произвольно взятому у
0
, получим
однозначную функцию x = g(y), обратную к у = f(x). Пока-
жем, что g(y) возрастает на [c, d]. Пусть у
/
< у
//
и x
/
= g(y
/
), x
//
= g(y
//
), тогда у
/
= f(x
/
), у
//
= f(x
//
). Если х
/
> х
//
, то в силу воз-
растания f(x) было бы и у
/
> у
//
, что противоречит условию.
Не может быть и х
/
= х
//
, так как тогда было бы и у
/
= у
//
. Зна-
чит, неравенство у
/
< у
//
влечет за собой неравенство х
/
< х
//
.
Непрерывность функции g(y) вытекает из критерия непре-
рывности.
Первая теорема Вейерштрасса. Если функция f(x)
непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на нем, т.
е. существуют числа m и M такие, что m f(x) M х [a,
b].
Доказательство. Предположим, что f(x) не ограни-
чена. Тогда для каждого n = 1, 2, … найдется значение х = x
n
[a, b] такое, что |f(x
n
)| n (3). По теореме БольцаноВей-
ерштрасса, из ограниченной последовательности {x
n
} мож-
но извлечь подпоследовательность
}{
k
n
x
, сходящуюся к
некоторому значению x
0
[a, b]. В силу непрерывности f(x)
(
)
)(lim
0
xfxf
k
n
=
, в то время, как из (3) вытекает
(
)
=
k
n
xflim . Полученное противоречие доказывает тео-
рему.
Замечание. Если функция непрерывна на интервале
(a, b) или на полуинтервале [a, b) или (a, b], то она может
быть неограниченной на нем. Например, функция
xxf 1)(
=
непрерывна на (0, 1], но не ограничена на нем.
Вторая теорема Вейерштрасса. Если функция f(x)
непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на нем своих
точных верхней и нижней границ, т.е. найдутся такие точки
х = х
0
и х = х
1
, что значения f(x
0
) и f(x
1
) будут, соответствен-
но, наибольшим и наименьшим значениями функции f(x).
Доказательство проведем для наибольшего значе-
ния. По первой теореме множество значений функции f(x)
ограничено сверху, поэтому существует
[]
Mxf
bax
=
)(sup
,
. По
свойству sup для каждого n = 1, 2, … найдется значение
[
]
baxx
n
,
=
такое, что Mxf
n
M
n
< )(
1
. Из ограничен-
ной последовательности {x
n
} можно извлечь подпоследова-
тельность
}{
k
n
x
, сходящуюся к
[
]
bax ,
0
, тогда в силу не-
прерывности функции )()(
0
xfxf
k
n
, а так как
n
Mxf
k
n
1
)( > , то в пределе Mxf )(
0
, но f(x
0
) не может