Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 34 стр.

функции f(x) = 4х - 8х и из того, что f (0) = 1 > 0 ,                     е. существуют числа m и M такие, что m ≤ f(x) ≤ M ∀х ∈ [a,
   1                                                                    b].
 f   = −2 < 0 .                                                                Доказательство. Предположим, что f(x) не ограни-
   2
                                                                          чена. Тогда для каждого n = 1, 2, … найдется значение х = xn
        Вторая теорема Больцано – Коши. Пусть функция
                                                                          ∈ [a, b] такое, что |f(xn)| ≥ n (3). По теореме Больцано – Вей-
f(x) непрерывна на [a, b], и f(a) = A, f(b) = B, причем А ≠ В.            ерштрасса, из ограниченной последовательности {xn} мож-
тогда, каково бы ни было число С, лежащее между А и В
                                                                          но извлечь подпоследовательность {xnk } , сходящуюся к
найдется по крайней мере одна точка с ∈ (a, b) такая, что
f(c) = C.                                                                 некоторому значению x0 ∈ [a, b]. В силу непрерывности f(x)
        Доказательство. Пусть для определенности А < В,                         ( )
                                                                          lim f xnk = f ( x0 ) , в то время, как из (3) вытекает
так что А < С < В. Введем в рассмотрение функцию F(x) =                   lim f (x ) = ∞ .
                                                                                  nk           Полученное противоречие доказывает тео-
f(x) - C, она непрерывна на [a, b], причем F(а) = f(а) – C < 0,
                                                                          рему.
F(b) = f(b) – C > 0, тогда, по доказанному найдется точка с ∈                       Замечание. Если функция непрерывна на интервале
(a, b) такая, что F(c) = 0 или f(c) = C. Теорема доказана.                (a, b) или на полуинтервале [a, b) или (a, b], то она может
        Теорема (о существовании обратной функции).                       быть неограниченной на нем. Например, функция
Пусть функция у = f(x) непрерывна на [a, b] и возрастает
                                                                           f ( x) = 1 x непрерывна на (0, 1], но не ограничена на нем.
(убывает) на нем, и пусть f([a, b]) = [c, d]. Тогда на [c, d]
существует однозначная обратная функция x = g(y), также                             Вторая теорема Вейерштрасса. Если функция f(x)
возрастающая (убывающая) и непрерывная.                                   непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на нем своих
        Доказательство. Пусть f(x) возрастает на [a, b]. Ее               точных верхней и нижней границ, т.е. найдутся такие точки
значения сплошь заполняют отрезок [c, d], поэтому для ка-                 х = х0 и х = х1, что значения f(x0) и f(x1) будут, соответствен-
ждого у0 ∈ [c, d] найдется значение х0 ∈ [a, b] (притом, в си-            но, наибольшим и наименьшим значениями функции f(x).
лу монотонности f(x), единственное) такое, что f(x0) = у0. со-                      Доказательство проведем для наибольшего значе-
поставляя именно это х0 произвольно взятому у0, получим                   ния. По первой теореме множество значений функции f(x)
однозначную функцию x = g(y), обратную к у = f(x). Пока-                  ограничено сверху, поэтому существует sup f ( x) = M . По
                                                                                                                                 x∈[a , b ]
жем, что g(y) возрастает на [c, d]. Пусть у/ < у// и x/ = g(y/), x//
                                                                          свойству sup для каждого n = 1, 2, … найдется значение
= g(y//), тогда у/ = f(x/), у// = f(x//). Если х/ > х//, то в силу воз-
                                                                                                        1
растания f(x) было бы и у/ > у//, что противоречит условию.               x = xn ∈ [a, b] такое, что M − < f ( xn ) ≤ M . Из ограничен-
Не может быть и х/ = х//, так как тогда было бы и у/ = у//. Зна-                                        n
чит, неравенство у/ < у// влечет за собой неравенство х/ < х//.           ной последовательности {xn} можно извлечь подпоследова-
Непрерывность функции g(y) вытекает из критерия непре-                    тельность {xnk } , сходящуюся к x0 ∈ [a, b] , тогда в силу не-
рывности.                                                                 прерывности          функции      f ( x nk ) → f ( x 0 ) ,          а   так   как
        Первая теорема Вейерштрасса. Если функция f(x)
непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на нем, т.                                   1
                                                                          f ( x nk ) > M −     , то в пределе f ( x0 ) ≥ M , но f(x0) не может
                                                                                             n