Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 35 стр.

быть больше М, поэтому f ( x0 ) = M , что и требовалось до-                                                     2
                                                                       одновременно для всех x, x0 ∈  0,  , хотя для каждого от-
казать.                                                                                                         π
        Заметим, что и здесь требование непрерывности                  дельного х0, в силу непрерывности f(x) такое δ существует.
функции на отрезке [a, b] является существенным. Напри-                               Теорема Кантора. Если функция f(x) непрерывна на
                     π                                                 отрезке [a, b], то она равномерно непрерывна на этом отрез-
мер, sup arctg x =       , но нет такого значения х, при котором
      x≥0            2                                                 ке.
                                                   π                                  Доказательство. Предположим, вопреки доказы-
функция arctg x принимает значение, равное              .
                                                    2                  ваемому, что для некоторого ε > 0 найдутся такие х0/ и х/ ∈
                                                                       [a, b], что | х/ - х0/| < δ , но |f(х/)- f(х0/)| ≥ ε, какое бы δ > 0 ни
     3.12. Равномерная непрерывность функций                           взять. Возьмем последовательность положительных чисел
          Пусть функция f(x) непрерывна в промежутке Х                 {δn}, стремящуюся к нулю. Для каждого δn найдутся
(замкнутом или нет, конечном или бесконечном). Тогда для                x0( n ) , x ( n ) ∈ [a, b] такие,    что         x ( n ) − x0( n ) < δ n , но
каждой точки х0 ∈ Х по заданному ε > 0 можно найти δ > 0
                                                                        f ( x ( n ) ) − f ( x0( n ) ) ≥ ε . По теореме Больцано – Вейерштрасса,
такое, что |f(x) - f(x0)| < ε, как только |х - х0| < δ. При этом для
различных х0 при одном и том же ε число δ будет, вообще                из ограниченной последовательности {x(n)} можно извлечь
говоря, различным.                                                     подпоследовательность {x ( nk ) } , сходящуюся к некоторой
          Определение. Если для любого ε > 0 найдется δ > 0            точке x0 ∈ [a, b] , аналогично, из последовательности {x0( n ) }
такое, что неравенство |х - х0| < δ влечет за собой неравен-
ство |f(x) - f(x0)| < ε, каковы бы ни были x, x0∈ Х, то функция        можно извлечь подпоследовательность {x0( nk ) } , которая, так
f(x) называется равномерно непрерывной на Х.                           как x ( nk ) − x0( nk ) → 0 , также сходится к х0. тогда, в силу не-
          Заметим, что непрерывность функций в каждой точ-
ке промежутка Х не влечет за собой равномерной непре-                  прерывности f(x), f ( x ( nk ) ) → f ( x0 ) и f ( x0( nk ) ) → f ( x0 ) , так
рывности в этом промежутке. Например, функция                          что f ( x ( nk ) ) − f ( x0( nk ) ) → 0 , а это противоречит тому, что
              1                                                         f ( x ( n ) ) − f ( x0( n ) ) ≥ ε . Полученное противоречие доказывает
 f ( x) = sin    непрерывна в каждой точке полуинтервала
              x
                                                                       теорему.
 2                            2          1
 0,  . Положим x0 =                 ,x=      , где n – любое нату-
 π                        (2n + 1)π     nπ
                                                                 π
ральное       число,         тогда      f ( x0 ) = sin(2n + 1)= ±1 ,
                                                            2
 f ( x) = sin nπ = 0 , так что |f(x) - f(x0)|=1, то есть для ε = 1
нельзя указать δ, удовлетворяющее неравенству |х - х0| < δ