Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 35 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

быть больше М, поэтому Mxf
=
)(
0
, что и требовалось до-
казать.
Заметим, что и здесь требование непрерывности
функции на отрезке [a, b] является существенным. Напри-
мер,
2
sup
0
π
=
xarctg
x
, но нет такого значения х, при котором
функция arctg x принимает значение, равное
2
π
.
3.12. Равномерная непрерывность функций
Пусть функция f(x) непрерывна в промежутке Х
(замкнутом или нет, конечном или бесконечном). Тогда для
каждой точки х
0
Х по заданному
ε
> 0 можно найти
δ
> 0
такое, что |f(x) - f(x
0
)| <
ε
, как только |х
- х
0
| <
δ
. При этом для
различных х
0
при одном и том же
ε
число
δ
будет, вообще
говоря, различным.
Определение. Если для любого
ε
> 0 найдется
δ
> 0
такое, что неравенство |х
- х
0
| <
δ
влечет за собой неравен-
ство |f(x) - f(x
0
)| <
ε
, каковы бы ни были x, x
0
Х, то функция
f(x) называется равномерно непрерывной на Х.
Заметим, что непрерывность функций в каждой точ-
ке промежутка Х не влечет за собой равномерной непре-
рывности в этом промежутке. Например, функция
x
xf
1
sin)( = непрерывна в каждой точке полуинтервала
π
2
,0
. Положим
ππ
n
x
n
x
1
,
)12(
2
0
=
+
= , где nлюбое нату-
ральное число, тогда
1
2
)12sin()(
0
±=+=
π
nxf ,
0sin)(
=
=
π
nxf , так что |f(x) - f(x
0
)|=1, то есть для
ε
= 1
нельзя указать
δ
, удовлетворяющее неравенству |х
- х
0
| <
δ
одновременно для всех x, x
0
π
2
,0, хотя для каждого от-
дельного х
0
, в силу непрерывности f(x) такое
δ
существует.
Теорема Кантора. Если функция f(x) непрерывна на
отрезке [a, b], то она равномерно непрерывна на этом отрез-
ке.
Доказательство. Предположим, вопреки доказы-
ваемому, что для некоторого
ε
> 0 найдутся такие х
0
/
и х
/
[a, b], что | х
/
- х
0
/
| <
δ
, но |f(х
/
)- f(х
0
/
)|
ε
, какое бы
δ
> 0 ни
взять. Возьмем последовательность положительных чисел
{
δ
n
}, стремящуюся к нулю. Для каждого
δ
n
найдутся
[
]
baxx
nn
,,
)()(
0
такие, что
n
nn
xx
δ
<
)(
0
)(
, но
ε
)()(
)(
0
)( nn
xfxf
. По теореме БольцаноВейерштрасса,
из ограниченной последовательности {x
(n)
} можно извлечь
подпоследовательность
}{
)(
k
n
x
, сходящуюся к некоторой
точке
[
]
bax ,
0
, аналогично, из последовательности }{
)(
0
n
x
можно извлечь подпоследовательность }{
)(
0
k
n
x , которая, так
как 0
)(
0
)(
kk
nn
xx , также сходится к х
0
. тогда, в силу не-
прерывности f(x), )()(
0
)(
xfxf
k
n
и )()(
0
)(
0
xfxf
k
n
, так
что 0)()(
)(
0
)(
kk
nn
xfxf , а это противоречит тому, что
ε
)()(
)(
0
)( nn
xfxf
. Полученное противоречие доказывает
теорему.