Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 29 стр.

малую β(х) будем считать бесконечно малой высшего по-                                           β                             β
                                                                        достаточно, чтобы lim     = 1 . В самом деле, если lim = 1 ,
рядка по сравнению с α(х) (обозначение: β(х)= о(α(х)).                                          α                             α
       Например, по сравнению с бесконечно малой α = х                          β
                                                                        то δ =     − 1 → 0 , тогда γ = β − α = δα будет величиной
при х → 0 бесконечно малые sin x, n 1 + x − 1 будут одного                      α
                          sin x             n
                                              1+ x −1 1                 высшего порядка по сравнению с α, так как
порядка, так как lim            = 1, lim              = , а бесконеч-       γ
                     x →0   x          x →0       x    n                lim = lim δ = 0 . Обратно, если α ~ β, то, по определению,
но малая 1-cos x будет высшего порядка по сравнению с х,                   α
             1 − cos x                                                                                  β         γ
так как lim             =0 .                                            γ = β − α = o(α ) , тогда lim − 1 = lim = 0 , откуда
        x →0     x                                                                                      α         α
       Существуют и несравнимые бесконечно малые, на-                       β
                            1         β             1                   lim = 1 , что и требовалось доказать.
пример, α = x, β = x sin        lim = lim sin не существует.                α
                             x  x → 0 α     x → 0   x                           Из рассмотренных выше примеров с помощью этого
       Бесконечно малая β(х) называется бесконечно малой                критерия можно установить, что при х → 0 sin x ~ x, tg x ~ x,
порядка р>0 (относительно бесконечно малой α(х)), если                                            1
                                                                        arctg x ~ x, m 1 + x − 1 ~ x , ln(1+x) ~ x, ex –1 ~ x.
величины β и α p являются величинами одного порядка, т. е.                                        m
             β                                                                  Доказанный критерий позволяет установить важное
если lim        = k ≠ 0, ∞ . Например, 1-cos x является беско-
       x →a α p                                                         свойство эквивалентных бесконечно малых, которое ис-
нечно малой 2-го порядка относительно х, так как                                                                               0
                                                                        пользуется при раскрытии неопределенностей вида   :
      1 − cos x 1                                                                                                              0
lim            = .
 x →0     x2    2                                                                                        β1      β β α           β
          Бесконечно малые α и β называются эквивалентны-               если α1 ~ α2 и β1 ~ β2, то lim      = lim 1 ⋅ 2 ⋅ 2 = lim 1 .
                                                                                                         α1      β 2 α 2 α1      β2
ми (обозначение: α~β), если их разность γ = β−α является
                                                                               Примеры.
бесконечно малой высшего порядка по сравнению с каждой
из них, т. е. γ = о(α) и γ = о(β). На самом деле достаточно
                                                                                1+ x + x −1
                                                                                         3
                                                                                                   1
                                                                                                         (
                                                                                                     x + x3
                                                                                                             1
                                                                                                               )
потребовать, чтобы γ была величиной высшего порядка по                  1) lim              = lim 2         = .
сравнению с хотя бы одной из них, так как, если, например,
                                                                           x →0   sin 3x      x →0    3x     6
                                        γ
                   γ         γ
γ = о(α), то lim     = lim        = lim α    = 0 , т. е. γ = о(β).
                   β       α +γ          γ
                                      1+
                                         α
      Критерий эквивалентности: для того, чтобы бес-
конечно малые α и β были эквивалентными, необходимо и