Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 22 стр.

ления может быть задана различными формулами. Напри-           2. Степенная функция у = хα, где α – любое постоянное
мер, пусть поезд, вышедший из пункта А в момент времени           действительное число (заметим, что операция возведе-
t = 0, в течение двух часов шел со скоростью 100 км/час и,        ния в степень любого действительного числа с любым
прибыв в пункт В, стоял там один час, а затем в течение           действительным показателем и операция логарифмиро-
трех часов со скоростью 80 км/час двигался дальше. Тогда          вания для любого положительного действительного
функция s = f(t), выражающая расстояние от поезда до              числа при положительном действительном основании
пункта А в момент времени t, будет иметь вид:                     могут быть введены с помощью сечения). В случае, если
                  100t            при 0 ≤ t ≤ 2,                 α – иррациональное число, будем предполагать х > 0 (х =
                                                                 0 допускается лишь при α > 0).
         f (t ) = 200             при 2 < t ≤ 3,
                  200 + 80(t − 3) при 3 < t ≤ 6.              3. Показательная функция у = ах, где а > 0, а ≠ 1; х может
                                                                 принимать любое действительное значение.
        И, наконец, рассмотрим табличный способ задания        4. Логарифмическая функция у = log a x, где а > 0, а ≠ 1; х
функции. Пусть, например, измеряется температура Т воз-           принимает лишь положительные значения.
духа через каждый час в течение суток. Тогда зависимость       5. Тригонометрические функции y = sin x, y = cos x, y = tg
температуры от времени можно представить в виде табли-            x, y = ctg x (иногда еще используются функции y = sec x,
цы, в которой каждому моменту времени t = 0, 1, 2, …, 24          y = cosec x). Следует иметь в виду, что аргументы триго-
соответствует определенное значение Т:                            нометрических функций, если их рассматривать как ме-
                                                                  ры углов, выражают эти углы в радианах. Функции sin x
    t         0          1         2          …          24       и cos x определены для всех значений аргумента, для tg x
    T         T0         T1        T2         …          T24                                                  π
                                                                  и sec x исключатся значения вида (2k + 1)       (k ∈ Z ) , а для
                                                                                                              2
       Если каждому значению переменной х ∈Ε, в силу не-
                                                                  ctg x и cosec x – значения вида kπ (k∈Z).
которого закона, соответствует некоторое множество ех зна-
                                                               6. Обратные тригонометрические            функции y = Arcsin
чений переменной у, то говорят, что этим законом опреде-
                                                                  x, y = Arccos x, y =Arctg x, y = Arcctg x (а также y =
ляется многозначная функция y = f(x). Если для каждого х
                                                                  Arcsec x и y = Arccosec x). Заметим, что значения обрат-
∈Ε множество ех состоит из одного числа, то получаем од-          ных тригонометрических функций, если их рассматри-
нозначную функцию. В дальнейшем под словом «функция»              вать как меры углов, выражают эти углы в радианах.
будем понимать именно однозначную функцию.                        Указанные функции являются многозначными. Обычно
                                                                  рассматривают лишь одну “ветвь” каждой из этих функ-
             3.2. Элементарные функции                            ций: y = аrcsin x, y = аrccos x (эти функции определены
1. Постоянная функция у = С. Каждому действительному              на отрезке [-1, 1]), y =аrctg x, y = аrcctg x (эти функции
   числу х ставится в соответствие одно и то же значение          определены на всей числовой прямой), при этом Arcsin
   переменной у, равное С.                                        x = аrcsin x + 2kπ, Arccos x= аrccos x + 2kπ, Arcctg x =
                                                                  аrcctg x + kπ, Arcctg x = аrcctg x + kπ, k ∈ Z.