Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 20 стр.

любой из элементов xn, содержащихся в [a1, b1], за xn2 возь-             В общем случае имеет место утверждение: для лю-
мем любой из xn, больших x n1 и содержащихся в [a2, b2] и т.      бой числовой последовательности {xn} limxn ≤ limxn , равен-
д. На k-м шаге в качестве xnk возьмем любой из xn, больших        ство в этом соотношении имеет место тогда и только тогда,
                                                                  когда существует lim xn (конечный или бесконечный), и то-
выбранных ранее xn1 , xn2 ,…, xnk −1 и содержащихся в [ak, bk].
                                                                  гда limxn = limxn = lim xn .
Такая процедура всегда осуществима, так как каждый из
отрезков [ak, bk] содержит бесконечное множество чисел xn,
т. е. содержит элементы xn со сколь угодно большими номе-              2.9. Фундаментальные последовательности,
рами. Так как ∀k ak ≤ xnk ≤ bk и lim ak = lim bk= c, то и                           критерий Коши
lim xnk = c , что и требовалось доказать.                                 Числовая последовательность {xn} называется фун-
                                                                  даментальной (или сходящейся в себе), если для любого
        Таким образом, у любой последовательность суще-           сколь угодно малого ε > 0 найдется такой номер N = N(ε),
ствуют частичные пределы (конечные или бесконечные).              что при n, m > N выполняется неравенство |xn-xm| <ε (1).
Можно показать, что среди этих частичных пределов есть                    Теорема (критерий Коши). Для того, чтобы после-
наибольший и наименьший, они называются верхним и                 довательность {xn} имела конечный предел, необходимо и
нижним пределами соответственно и обозначаются limxn и            достаточно, чтобы она была фундаментальной.
limxn . Сформулируем точное определение: Верхним (ниж-                    Доказательство. Необходимость. Пусть lim xn = a,
ним) пределом последовательности {xn} называется конеч-           тогда ∀ε > 0 ∃N такое, что при всех n > N |xn – a| <ε /2; если
ное или бесконечное число M (m), обладающее двумя свой-           взять и m > N, то для таких n и m будут одновременно вы-
ствами:                                                           полняться неравенства: |xn – a| <ε /2 и |xm – a| <ε /2, тогда
        1) существует подпоследовательность {xnk } такая,         |xn – xm| = |xn – a+ a - xm|≤ |xn – a|+|xm – a| <ε /2 +ε /2 =ε.
                                                                          Достаточность. Пусть {xn} – фундаментальная по-
что lim xnk = M (m) ;                                             следовательность. Неравенство (1) равносильно двойному
        2) для любой сходящейся подпоследовательности             неравенству: xm -ε < xn< xm +ε (2). Если зафиксировать m, то
lim xnk ≤ M (≥ m) .                                               из (2) вытекает ограниченность последовательности {xn}: ее
        Ясно, что если {xn} не ограничена сверху, то из нее       значения при n > N содержатся между числами xm -ε и xm +ε.
можно извлечь подпоследовательность {xnk } такую, что             Ясно, что можно так раздвинуть границы интервала (xm -ε,
                                                                  xm+ε), чтобы охватить и первые N членов последовательно-
lim xnk = +∞ , так что limxn = +∞ . Аналогично, если {xn} не      сти. Тогда по теореме Больцано – Вейерштрасса из {xn}
ограничена снизу, то limxn = −∞ . Может оказаться, что            можно извлечь подпоследовательность {xnk } : lim xnk = c.
limxn = −∞ , тогда limxn = −∞ и lim xn = −∞ . Аналогично,               Возьмем произвольное ε > 0, по нему можно найти
                                                                  такое K(ε ), что при k > K(ε ) xnk − c < ε / 2 . В силу (1) для
если limxn = +∞ ,то limxn = +∞ и lim xn = +∞ .