Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 18 стр.

и при n > c-1 xn+1 < xn, т. е. варианта xn убывает и, очевидно,                  1 n(n − 1) 1 n(n − 1)(n − 2) 1
ограничена снизу, в частности, нулем. Значит, существует            xn = 1 + n ⋅ +         ⋅ +                ⋅ 2 +Κ +
                                                                                 n    2!    n        3!         n
lim xn= a, но и lim xn+1= a. переходя в (1) к пределу, получа-        n(n − 1)Κ (n − k + 1) 1       n(n − 1)Κ (n − n + 1) 1
ем а = а⋅0 = 0 ⇒ а = 0.                                             +                      ⋅ k +Κ +                      ⋅ n =
                                                                                  k!        n                n!           n
2) xn = c + c + Κ + c (с > 0). Ясно, что xn+1 = c + xn . Ва-                                                                   (1)
                                                                              1  1  1  1  2 
                                                                    = 1 + 1 + 1 −  + 1 − 1 −  +
рианта xn, очевидно, возрастает и ограничена сверху, на-                      2!  n  3!  n  n 
пример, числом c + 1 . Значит, lim xn = lim xn+1 = a ⇒ а2 = с               1  1   n −1 
                                                                    + Κ + 1 −  Κ 1 −         
             4c + 1 + 1                                                     n!  n         n 
+а⇒ a=                  .
                2                                                   При переходе к xn+1 добавится новый, (n+2)-й член, а каж-
                                    a+b                             дый из записанных членов увеличится, т. е. xn+1 > xn. В огра-
3) Пусть a > b > 0. положим a1 =        , b1 = ab , a> a1 >b1 >     ниченности сверху можно убедиться, если в (1) опустить
                                     2
                    a1 + b1                                         все множители в скобках:
b. Пусть далее a2 =         , b2 = a1b1 , a1 > a2 > b2 > b1. Про-               1 1         1      1 1             1
                       2                                             xn < 2 + + + Κ + < 2 + + 2 + Κ + n−1 < 3 . Значит,
                                     a + bn                                     2! 3!       n!     2 2            2
должая так далее, имеем: an+1 = n            , bn+1 = an bn . Так   варианта xn имеет конечный предел, равный e =
                                        2
                                                                    2,7182818284… – иррациональное число. Таким образом,
как, очевидно, an > an+1 > bn+1 > bn, то an – убывающая, bn –                 n
возрастающая варианты, причем a > an > bn > b, т. е. обе ва-            1
                                                                    lim1 +  = e .
рианты ограничены, значит, имеют пределы α = lim an, β =                n
                                                   a + bn
lim bn. Переходя к пределу в равенстве an+1 = n            (или в
                                                     2                        2.7. Лемма о вложенных отрезках
равенстве bn+1 = an bn ), получаем α = β = µ(a, b) – среднее               Лемма. Пусть задана последовательность отрезков
арифметико-геометрическое чисел a и b.                              σn=[an, bn] (n=1, 2, …), вложенных друг в друга, т.е. таких,
               n                                                    что σn+1 ⊂ σn с длинами, стремящимися к нулю: dn = bn -
         1                                                        an→0. Тогда существует единственная точка с, принадле-
4) xn = 1 +  . Покажем, что это возрастающая варианта.
         n                                                        жащая всем этим отрезкам.
В самом деле, по формуле бинома Ньютона:                                    Доказательство. Ясно, что при любом фиксирован-
                                                                    ном m a1≤ a2≤ …≤bm, так что числовая последовательность
                                                                    {an} является неубывающей и ограниченной сверху, значит,
                                                                    по предыдущей теореме существует число с такое, что lim
                                                                    аn = с, при этом an ≤ c ≤ bm. Так как в этих неравенствах n и