Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 18 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

и при n > c-1 x
n+1
< x
n
, т. е. варианта x
n
убывает и, очевидно,
ограничена снизу, в частности, нулем. Значит, существует
lim x
n
= a, но и lim x
n+1
= a. переходя в (1) к пределу, получа-
ем а = а0 = 0 а = 0.
2)
cccx
n
+++(с > 0). Ясно, что
nn
xcx +=
+1
. Ва-
рианта x
n
, очевидно, возрастает и ограничена сверху, на-
пример, числом
1+c . Значит, lim x
n
= lim x
n+1
= a а
2
= с
+ а
2
114 ++
=
c
a
.
3) Пусть a > b > 0. положим
abb
ba
a =
+
=
11
,
2
, a> a
1
>b
1
>
b. Пусть далее
112
11
2
,
2
bab
ba
a =
+
= , a
1
> a
2
> b
2
> b
1
. Про-
должая так далее, имеем:
nnn
nn
n
bab
ba
a =
+
=
++ 11
,
2
. Так
как, очевидно, a
n
> a
n+1
> b
n+1
> b
n
, то a
n
убывающая, b
n
возрастающая варианты, причем a > a
n
> b
n
> b, т. е. обе ва-
рианты ограничены, значит, имеют пределы
α
= lim a
n
,
β
=
lim b
n
. Переходя к пределу в равенстве
2
1
nn
n
ba
a
+
=
+
(или в
равенстве
nnn
bab =
+1
), получаем
α
=
β
=
µ
(a, b) – среднее
арифметико-геометрическое чисел a и b.
4)
n
n
n
x
+=
1
1 . Покажем, что это возрастающая варианта.
В самом деле, по формуле бинома Ньютона:
++
+
+
++=
=
+
++
+
+
++
+
++=
n
n
nn
nnn
nn
nnnn
nk
knnn
n
nnn
n
nn
n
nx
nk
n
1
1
1
1
!
1
2
1
1
1
!3
11
1
!2
1
11
1
!
)1()1(1
!
)1()1(
1
!3
)2)(1(1
!2
)1(1
1
2
ΚΚ
Κ
Κ
Κ
Κ
(1)
При переходе к x
n+1
добавится новый, (n+2)-й член, а каж-
дый из записанных членов увеличится, т. е. x
n+1
> x
n
. В огра-
ниченности сверху можно убедиться, если в (1) опустить
все множители в скобках:
3
2
1
2
1
2
1
2
!
1
!3
1
!2
1
2
12
<++++<++++<
n
n
n
x ΚΚ . Значит,
варианта x
n
имеет конечный предел, равный e =
2,7182818284… – иррациональное число. Таким образом,
e
n
n
=
+
1
1lim .
2.7. Лемма о вложенных отрезках
Лемма. Пусть задана последовательность отрезков
σ
n
=[a
n
, b
n
] (n=1, 2, …), вложенных друг в друга, т.е. таких,
что
σ
n+1
σ
n
с длинами, стремящимися к нулю: d
n
= b
n
-
a
n
→0. Тогда существует единственная точка с, принадле-
жащая всем этим отрезкам.
Доказательство. Ясно, что при любом фиксирован-
ном m a
1
a
2
b
m
, так что числовая последовательность
{a
n
} является неубывающей и ограниченной сверху, значит,
по предыдущей теореме существует число с такое, что lim
а
n
= с, при этом a
n
c b
m
. Так как в этих неравенствах n и