Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 15 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

2.5. Неопределенные выражения
В свойствах 2, 3 предполагалось, что варианты x
n
и
y
n
стремятся к конечным пределам. Сейчас рассмотрим слу-
чаи, когда один или оба предела равны бесконечности, а, в
случае частного, когда lim y
n
= 0. В этих случаях получают-
ся так называемые неопределенные выражения (будем на-
зывать их неопределенностями).
1.
Неопределенность вида
0
0
. Пусть lim x
n
= lim y
n
= 0.
lim
x
y
n
n
может иметь различные значения или даже не
существовать. Например, если
x
n
n
=
1
2
, y
n
n
=
1
, то
lim
x
y
n
n
= 0; если x
n
n
=
1
, y
n
n
=
1
2
, то lim
x
y
n
n
=∞; если
x
a
n
a
n
=≠()0, y
n
n
=
1
, то
lim
x
y
а
n
n
=
. Наконец, если
x
n
n
n
=
+
()1
1
, y
n
n
=
1
, то lim ( )
x
y
n
n
n
=−
+
1
1
не существует.
2. Неопределенность вида
. Такого вида неоп-
ределенность возникает при вычислении
lim
x
y
n
n
, когда lim
x
n
=
±∞
, lim y
n
=
±∞
. например, если x
n
=n, y
n
=n
2
, то
x
yn
n
n
=→
1
0; если x
n
=n
2
, y
n
=n, то lim lim
x
y
n
n
n
==+; если
x
n
=аn, y
n
=n, то lim
x
y
а
n
n
= ; если
[
]
xn
n
n
+
21
1
() , y
n
=n,
то
[
]
lim lim ( )
x
y
n
n
n
=+
+
21
1
не существует.
3.
Если x
n
→0
, y
n
→±∞
, то выражение x
n
y
n
является
неопределенностью вида 0⋅∞.
Примеры: x
n
n
=
1
2
, y
n
=n, xy
n
nn
=→
1
0; x
n
n
=
1
, y
n
=n
2
,
то x
n
y
n
=n
→∞
; x
a
n
yn xya
nn nn
== =, ,lim ; x
n
n
n
=
+
()1
1
,
y
n
= n, lim x
n
y
n
= lim (-1)
n+1
не существует.
4.
Если x
n
, y
n
стремятся к
разных знаков, то x
n
+ y
n
представляет собой неопределенность вида
-
. Примеры:
x
n
= 2n, y
n
= -n, x
n
+ y
n
= n +
; x
n
= n, y
n
= -2n, то x
n
+ y
n
= -n
-
; x
n
= n+а, y
n
= -n, x
n
+ y
n
=a a; x
n
= n+(-1)
n+1
, y
n
= -n,
lim (x
n
+ y
n
) = lim(-1)
n+1
не существует.
Далее рассмотрим более содержательные примеры
на раскрытие неопределенностей.
1) Пусть P(n)=a
0
n
k
+ a
1
n
k –1
+...+ a
k–1
n+ a
k
, Q(n)=b
0
n
l
+
b
1
n
l –1
+...+ b
l–1
n+ b
l
, где a
i
(ik= 1, ), b
j
( lj ,1= ) – заданные
числа. Тогда
)(
)(
nQ
nP
представляет собой неопределенность
вида
, её можно раскрыть таким способом:
<
>±
=
=
+++
+++
=
. если ,0
, если ,
, если ,
...
...
lim
)(
)(
lim
0
0
1
0
1
0
lk
lk
lk
b
a
n
b
n
b
b
n
a
n
a
a
n
nQ
nP
l
l
k
k
lk