Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 15 стр.

               2.5. Неопределенные выражения
         В свойствах 2, 3 предполагалось, что варианты xn и
                                                                                       x
                                                                                                               [            ]
                                                                  xn=аn, yn=n, то lim n = а ; если xn = 2 ± ( −1) n + 1 n , yn=n,
                                                                                       yn
yn стремятся к конечным пределам. Сейчас рассмотрим слу-
чаи, когда один или оба предела равны бесконечности, а, в
случае частного, когда lim yn = 0. В этих случаях получают-
                                                                         x
                                                                                   [            ]
                                                                  то lim n = lim 2 + ( −1) n + 1 не существует.
                                                                         yn
ся так называемые неопределенные выражения (будем на-                    3. Если xn→0, yn→±∞, то выражение xn ⋅ yn является
зывать их неопределенностями).                                    неопределенностью вида 0⋅∞.
                                       0                                           1                   1             1
         1. Неопределенность вида   . Пусть lim xn = lim yn     Примеры: xn = 2 , yn=n, xn y n = → 0 ; xn =             , yn=n2,
                                       0                                          n                    n            n
            x                                                                              a                                    ( −1) n + 1
= 0. lim n может иметь различные значения или даже не             то xnyn=n→∞; xn =           , yn = n,lim x n yn = a ; xn =           ,
            yn                                                                              n                                      n
                                              1          1        yn = n, lim xn yn = lim (-1)n+1 не существует.
существовать. Например, если xn = 2 , yn =                 , то
                                             n          n                  4. Если xn, yn стремятся к ∞ разных знаков, то xn + yn
    x                       1          1           x              представляет собой неопределенность вида ∞ -∞. Примеры:
lim n = 0 ; если xn =          , y n = 2 , то lim n = ∞ ; если    xn = 2n, yn = -n, xn+ yn = n → +∞; xn = n, yn = -2n, то xn+ yn= -n
     yn                   n           n            yn
                                                                  → -∞; xn = n+а, yn = -n, xn+ yn=a → a; xn = n+(-1)n+1, yn = -n,
        a                  1            xn
 xn =      (a ≠ 0) , yn =     , то lim      = а . Наконец, если   lim (xn+ yn) = lim(-1)n+1 не существует.
      n                   n              yn                                Далее рассмотрим более содержательные примеры
       ( −1) n + 1            x
                              1                                   на раскрытие неопределенностей.
xn =                  , то lim n = ( −1) n + 1 не существует.
                     , yn =                                                1) Пусть P(n)=a0nk+ a1nk –1+...+ ak–1n+ ak, Q(n)=b0nl+
       n           n          yn
                                                                  b1nl –1+...+ bl–1n+ bl, где ai ( i = 1, k ), bj( j = 1, l ) – заданные
                                  ∞
      2. Неопределенность вида   . Такого вида неоп-                              P ( n)
                                  ∞                             числа. Тогда              представляет собой неопределенность
                                                                                    Q ( n)
                                                x
ределенность возникает при вычислении lim n , когда lim                 ∞
                                                 yn               вида   , её можно раскрыть таким способом:
                                                                        ∞
xn =±∞ , lim yn =±∞ . например, если xn=n, yn=n2, то
 xn 1                                 x                                                                       a
    = → 0 ; если xn=n2, yn=n, то lim n = lim n = +∞ ; если                                    a1       ak  0 , если k = l ,
                                                                                          a0 + + ... + k        b
 yn n                                 yn                               P (n)         k −l     n        n       0
                                                                  lim        = lim n                       = ± ∞, если k > l ,
                                                                      Q ( n)                  b1       bl      0, если k < l.
                                                                                          b0 + + ... + l
                                                                                               n       n      
                                                                                                              