Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

2. Если lim x
n
= a, то ∀p: p<a ∃N такое, что при n>N
будет выполняться неравенство x
n
>p.
Доказательство. Возьмем
ε
< a-p. Тогда ∃N=N(
ε
)
такое, что при n > N x
n
> a-
ε
> a-(a-p)=p, т.е. x
n
> p.
Точно так же можно показать, что если lim x
n
= a и
q>a, то при достаточно больших n будет x
n
< q.
Следствие. Если lim x
n
= a и а>0 (а<0), то при дос-
таточно больших n x
n
>0 (x
n
<0).
Этот факт обычно используется в такой формули-
ровке: если lim x
n
≠ 0, то при достаточно больших n
xr
n
>>0.
3.
Сходящаяся последовательность не может иметь
больше одного предела.
Доказательство. Допустим, вопреки доказываемо-
му, что lim x
n
= a и lim x
n
= b, причем a<b. Возьмем r:
a<r<b. Так как x
n
→ а и а<r, то ∃N
/
: при n> N
/
x
n
<r. С другой
стороны, так как x
n
→ b и b>r, то ∃N
//
: при n> N
//
x
n
>r. Тогда
при n, больших N
/
и N
//
будут одновременно выполняться
неравенства x
n
<r и x
n
>r, что невозможно.
2.3. Бесконечно малые и бесконечно
большие величины
Варианта
α
=
α
n
называется бесконечно малой вели-
чиной (или просто бесконечно малой), если lim
α
n
= 0, т.е.
если ∀
ε
>0 ∃
Ν=Ν
(
ε
) такое, что при n>N
αε
n
< .
Легко видеть, что если x
n
→ a, то разность
α
n
= x
n
- a
есть бесконечно малая, и обратно, если
α
n
- бесконечно ма-
лая, то x
n
→ a, т.е. для того, чтобы варианта x
n
имела своим
пределом число а, необходимо и достаточно, чтобы раз-
ность
α
n
= x
n
- a была бесконечно малой, или, что то же са-
мое, чтобы x
n
имело вид x
n
= a+
α
n
, где
α
n
- бесконечно ма-
лая.
Варианта
β
=
β
n
называется бесконечно большой ве-
личиной (или просто бесконечно большой), если для любо-
го сколь угодно большого Е>0 существует N=N(E) такое,
что при n>N
β
n
E> . При этом будем писать lim
β
n
=
∞
или
β
n
→
∞
и говорить, что
β
n
стремится к бесконечности.
Если бесконечно большая
β
n
принимает только положи-
тельные или только отрицательные значения (по крайней
мере, при достаточно больших n), то говорят, что lim
β
n
=
+
∞
или
β
n
→ +
∞
и соответственно lim
β
n
= -
∞
или
β
n
→ -
∞
.
Множества (Е, +
∞
), (-
∞
, Е), {x: |x|>E}, где Е - произвольное
число, называются окрестностями "точек" соответственно
+
∞
, -
∞
,
∞
.
Отметим следующие очевидные
свойства бесконеч-
но малых и бесконечно больших:
1.
Если
β
n
- бесконечно большая, то
α
β
n
n
=
1
- бес-
конечно малая.
В самом деле, возьмем произвольное
ε
> 0. Так как
lim |
β
n
| =
∞
, то для Е =
1
ε
найдется N=N(E) такое, что при
n>N
β
n
E
>
1
, тогда при этих n
α
β
ε
n
n
=<
1
, что и требо-
валось.
2.
Точно так же можно доказать, что если
α
n
- беско-
нечно малая, то
β
α
n
n
=
1
- бесконечно большая.
3.
Если x
n
- ограниченная варианта,
α
n
- бесконечно
малая, то x
n
α
n
- бесконечно малая. 
       2. Если lim xn = a, то ∀p: pN             Варианта β = βn называется бесконечно большой ве-
будет выполняться неравенство xn>p.                              личиной (или просто бесконечно большой), если для любо-
       Доказательство. Возьмем ε < a-p. Тогда ∃N=N(ε)            го сколь угодно большого Е>0 существует N=N(E) такое,
такое, что при n > N xn > a-ε > a-(a-p)=p, т.е. xn > p.          что при n>N βn > E . При этом будем писать lim βn = ∞
       Точно так же можно показать, что если lim xn = a и
                                                                 или βn → ∞ и говорить, что βn стремится к бесконечности.
q>a, то при достаточно больших n будет xn < q.
                                                                 Если бесконечно большая βn принимает только положи-
       Следствие. Если lim xn = a и а>0 (а<0), то при дос-
                                                                 тельные или только отрицательные значения (по крайней
таточно больших n xn>0 (xn<0).
       Этот факт обычно используется в такой формули-            мере, при достаточно больших n), то говорят, что lim βn =
ровке: если lim xn ≠ 0, то при достаточно больших n              +∞ или βn → +∞ и соответственно lim βn = -∞ или βn → -∞.
                                                                 Множества (Е, +∞), (-∞, Е), {x: |x|>E}, где Е - произвольное
 xn > r > 0 .                                                    число, называются окрестностями "точек" соответственно
       3. Сходящаяся последовательность не может иметь           +∞, -∞, ∞.
больше одного предела.                                                  Отметим следующие очевидные свойства бесконеч-
       Доказательство. Допустим, вопреки доказываемо-            но малых и бесконечно больших:
му, что lim xn = a и lim xn = b, причем a N/ xnr, то ∃N//: при n> N// xn>r. Тогда         1. Если βn - бесконечно большая, то α n =    - бес-
                                                                                                                 βn
при n, больших N/ и N// будут одновременно выполняться           конечно малая.
неравенства xnr, что невозможно.
                                                                         В самом деле, возьмем произвольное ε > 0. Так как
         2.3. Бесконечно малые и бесконечно                                               1
                  большие величины                               lim |βn| = ∞, то для Е = найдется N=N(E) такое, что при
                                                                                           ε
       Варианта α = αn называется бесконечно малой вели-                    1                           1
чиной (или просто бесконечно малой), если lim αn = 0, т.е.       n>N βn >     , тогда при этих n α n =    < ε , что и требо-
                                                                            E                          βn
если ∀ε>0 ∃Ν=Ν(ε) такое, что при n>N α n < ε .                   валось.
       Легко видеть, что если xn → a, то разность αn = xn - a
есть бесконечно малая, и обратно, если αn - бесконечно ма-             2. Точно так же можно доказать, что если αn - беско-
лая, то xn → a, т.е. для того, чтобы варианта xn имела своим                          1
пределом число а, необходимо и достаточно, чтобы раз-            нечно малая, то βn =   - бесконечно большая.
                                                                                      αn
ность αn = xn - a была бесконечно малой, или, что то же са-
мое, чтобы xn имело вид xn = a+αn, где αn - бесконечно ма-              3. Если xn - ограниченная варианта, αn - бесконечно
лая.                                                             малая, то xnαn - бесконечно малая.

Страницы