Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 13 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

2. Если lim x
n
= a, то p: p<a N такое, что при n>N
будет выполняться неравенство x
n
>p.
Доказательство. Возьмем
ε
< a-p. Тогда N=N(
ε
)
такое, что при n > N x
n
> a-
ε
> a-(a-p)=p, т.е. x
n
> p.
Точно так же можно показать, что если lim x
n
= a и
q>a, то при достаточно больших n будет x
n
< q.
Следствие. Если lim x
n
= a и а>0 (а<0), то при дос-
таточно больших n x
n
>0 (x
n
<0).
Этот факт обычно используется в такой формули-
ровке: если lim x
n
0, то при достаточно больших n
xr
n
>>0.
3.
Сходящаяся последовательность не может иметь
больше одного предела.
Доказательство. Допустим, вопреки доказываемо-
му, что lim x
n
= a и lim x
n
= b, причем a<b. Возьмем r:
a<r<b. Так как x
n
а и а<r, то N
/
: при n> N
/
x
n
<r. С другой
стороны, так как x
n
b и b>r, то N
//
: при n> N
//
x
n
>r. Тогда
при n, больших N
/
и N
//
будут одновременно выполняться
неравенства x
n
<r и x
n
>r, что невозможно.
2.3. Бесконечно малые и бесконечно
большие величины
Варианта
α
=
α
n
называется бесконечно малой вели-
чиной (или просто бесконечно малой), если lim
α
n
= 0, т.е.
если
ε
>0
Ν=Ν
(
ε
) такое, что при n>N
αε
n
< .
Легко видеть, что если x
n
a, то разность
α
n
= x
n
- a
есть бесконечно малая, и обратно, если
α
n
- бесконечно ма-
лая, то x
n
a, т.е. для того, чтобы варианта x
n
имела своим
пределом число а, необходимо и достаточно, чтобы раз-
ность
α
n
= x
n
- a была бесконечно малой, или, что то же са-
мое, чтобы x
n
имело вид x
n
= a+
α
n
, где
α
n
- бесконечно ма-
лая.
Варианта
β
=
β
n
называется бесконечно большой ве-
личиной (или просто бесконечно большой), если для любо-
го сколь угодно большого Е>0 существует N=N(E) такое,
что при n>N
β
n
E> . При этом будем писать lim
β
n
=
или
β
n
и говорить, что
β
n
стремится к бесконечности.
Если бесконечно большая
β
n
принимает только положи-
тельные или только отрицательные значения (по крайней
мере, при достаточно больших n), то говорят, что lim
β
n
=
+
или
β
n
+
и соответственно lim
β
n
= -
или
β
n
-
.
Множества (Е, +
), (-
, Е), {x: |x|>E}, где Е - произвольное
число, называются окрестностями "точек" соответственно
+
, -
,
.
Отметим следующие очевидные
свойства бесконеч-
но малых и бесконечно больших:
1.
Если
β
n
- бесконечно большая, то
α
β
n
n
=
1
- бес-
конечно малая.
В самом деле, возьмем произвольное
ε
> 0. Так как
lim |
β
n
| =
, то для Е =
1
ε
найдется N=N(E) такое, что при
n>N
β
n
E
>
1
, тогда при этих n
α
β
ε
n
n
=<
1
, что и требо-
валось.
2.
Точно так же можно доказать, что если
α
n
- беско-
нечно малая, то
β
α
n
n
=
1
- бесконечно большая.
3.
Если x
n
- ограниченная варианта,
α
n
- бесконечно
малая, то x
n
α
n
- бесконечно малая.