2. Если lim xn = a, то ∀p: pN Варианта β = βn называется бесконечно большой ве-
будет выполняться неравенство xn>p. личиной (или просто бесконечно большой), если для любо-
Доказательство. Возьмем ε < a-p. Тогда ∃N=N(ε) го сколь угодно большого Е>0 существует N=N(E) такое,
такое, что при n > N xn > a-ε > a-(a-p)=p, т.е. xn > p. что при n>N βn > E . При этом будем писать lim βn = ∞
Точно так же можно показать, что если lim xn = a и
или βn → ∞ и говорить, что βn стремится к бесконечности.
q>a, то при достаточно больших n будет xn < q.
Если бесконечно большая βn принимает только положи-
Следствие. Если lim xn = a и а>0 (а<0), то при дос-
тельные или только отрицательные значения (по крайней
таточно больших n xn>0 (xn<0).
Этот факт обычно используется в такой формули- мере, при достаточно больших n), то говорят, что lim βn =
ровке: если lim xn ≠ 0, то при достаточно больших n +∞ или βn → +∞ и соответственно lim βn = -∞ или βn → -∞.
Множества (Е, +∞), (-∞, Е), {x: |x|>E}, где Е - произвольное
xn > r > 0 . число, называются окрестностями "точек" соответственно
3. Сходящаяся последовательность не может иметь +∞, -∞, ∞.
больше одного предела. Отметим следующие очевидные свойства бесконеч-
Доказательство. Допустим, вопреки доказываемо- но малых и бесконечно больших:
му, что lim xn = a и lim xn = b, причем a N/ xnr, то ∃N//: при n> N// xn>r. Тогда 1. Если βn - бесконечно большая, то α n = - бес-
βn
при n, больших N/ и N// будут одновременно выполняться конечно малая.
неравенства xnr, что невозможно.
В самом деле, возьмем произвольное ε > 0. Так как
2.3. Бесконечно малые и бесконечно 1
большие величины lim |βn| = ∞, то для Е = найдется N=N(E) такое, что при
ε
Варианта α = αn называется бесконечно малой вели- 1 1
чиной (или просто бесконечно малой), если lim αn = 0, т.е. n>N βn > , тогда при этих n α n = < ε , что и требо-
E βn
если ∀ε>0 ∃Ν=Ν(ε) такое, что при n>N α n < ε . валось.
Легко видеть, что если xn → a, то разность αn = xn - a
есть бесконечно малая, и обратно, если αn - бесконечно ма- 2. Точно так же можно доказать, что если αn - беско-
лая, то xn → a, т.е. для того, чтобы варианта xn имела своим 1
пределом число а, необходимо и достаточно, чтобы раз- нечно малая, то βn = - бесконечно большая.
αn
ность αn = xn - a была бесконечно малой, или, что то же са-
мое, чтобы xn имело вид xn = a+αn, где αn - бесконечно ма- 3. Если xn - ограниченная варианта, αn - бесконечно
лая. малая, то xnαn - бесконечно малая.
