Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 9 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

1.5. Арифметические операции над
действительными числами
Пусть даны два действительных числа
α
и
β
. Рас-
смотрим рациональные числа
а, а
/
и b, b
/
, удовлетворяющие
неравенствам:
a <
α
< a
/
и b <
β
< b
/
(1). Суммой
α
+
β
чисел
α
и
β
называется такое действительное число
γ
, которое со-
держится между всеми суммами вида
а+b, с одной стороны,
и всеми суммами вида
а
/
+b
/
, с другой: а + b <
γ
< а
/
+ b
/
.
Можно показать, что для любой пары действитель-
ных чисел
α
и
β
такое число
γ
существует и единственно.
Кроме того, данное определение суммы не противоречит
определению суммы для рациональных чисел (в этом мы
убедимся в следующем параграфе).
Пусть
α
,
β
- положительные действительные числа, и
пусть
а, а
/
и b, b
/
- положительные рациональные числа,
удовлетворяющие неравенствам (1). Произведением
αβ
чи-
сел
α
и
β
называется такое действительное число
γ
, которое
содержится между всеми произведениями вида
аb, с одной
стороны, и всеми произведениями вида
а
/
b
/
, с другой. Такое
число
γ
существует и единственно, каковы бы ни были по-
ложительные действительные числа
α
и
β
. Данное опреде-
ление произведения согласуется с определением произведе-
ния для рациональных чисел, что будет показано в следую-
щем параграфе.
Пусть теперь α,
β
- произвольные (не обязательно
положительные) действительные числа. Условимся считать,
что
α
α
=
=
00 0, каково бы ни было
α
. Если оба множи-
теля отличны от 0, то
αβ α β
= , если
α
и
β
- числа одно-
го знака и
αβ α β
= −⋅, если числа
α
и
β
имеют разные
знаки, где
<
=
.0 если ,
,0 если ,
αα
αα
α
1.6. Свойства действительных чисел
В этом параграфе будет установлено, что введенные
выше операции над действительными числами удовлетво-
ряют системе аксиом, сформулированных в 2.1 для рацио-
нальных чисел, но для действительных чисел с таким обра-
зом введенными операциями эти аксиомы являются свойст-
вами, которые необходимо доказать.
Итак, сформулируем четыре группы свойств дейст-
вительных чисел, ограничившись доказательством лишь не-
которых из них.
Группа А. Свойства порядка.
А
1
.
α
,
β
R имеет место одно и только одно из со-
отношений:
α
=
β
,
α
>
β
,
α
<
β
.
А
2
. Если
α
>
β
и
β
>
γ
, то
α
>
γ
.
Доказательство. Так как
α
>
β
, то А В, а так как
β
>
γ
, то В С, где А/А
/
, В/В
/
и С/С
/
- сечения, определяющие
числа
α
,
β
и
γ
соответственно. Из включений А В и В С
вытекает
А С, причем А С, значит,
α
>
γ
.
А
3
. Если
α
>
β
, то найдется
γ
такое, что
α
>
γ
>
β
(свойство плотности). Заметим, что какими бы (быть может,
сколь угодно близкими) ни были
α
и
β
такие, что
α
>
β
, чи-
сел
γ
, удовлетворяющих неравенству
α
>
γ
>
β
, можно вы-
брать сколь угодно много.
Свойство А
3
может быть усилено таким образом: ка-
ковы бы ни были два действительных числа
α
и
β
такие, что
α
>
β
, найдется рациональное число r, удовлетворяющее
неравенству:
α
> r >
β
(на самом деле таких рациональных
чисел - бесчисленное множество).
Группа Б. Свойства операций сложения и вычитания.
Б
1
.
α
+
β
=
β
+
α
.
Б
2
. (
α
+
β
) +
γ
=
α
+ (
β
+
γ
).
Б
3
.
α
+ 0 =
α
.