Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 9 стр.

                                                                         1.6. Свойства действительных чисел
         1.5. Арифметические операции над                               В этом параграфе будет установлено, что введенные
              действительными числами                           выше операции над действительными числами удовлетво-
       Пусть даны два действительных числа α и β. Рас-          ряют системе аксиом, сформулированных в 2.1 для рацио-
смотрим рациональные числа а, а/ и b, b/, удовлетворяющие       нальных чисел, но для действительных чисел с таким обра-
неравенствам: a < α < a/ и b < β < b/ (1). Суммой α + β чисел   зом введенными операциями эти аксиомы являются свойст-
α и β называется такое действительное число γ, которое со-      вами, которые необходимо доказать.
держится между всеми суммами вида а+b, с одной стороны,                 Итак, сформулируем четыре группы свойств дейст-
и всеми суммами вида а/+b/ , с другой: а + b < γ < а/ + b/.     вительных чисел, ограничившись доказательством лишь не-
       Можно показать, что для любой пары действитель-          которых из них.
                                                                        Группа А. Свойства порядка.
ных чисел α и β такое число γ существует и единственно.
Кроме того, данное определение суммы не противоречит                    А1. ∀α, β ∈ R имеет место одно и только одно из со-
определению суммы для рациональных чисел (в этом мы             отношений: α = β, α > β, α < β.
убедимся в следующем параграфе).                                        А2. Если α > β и β > γ, то α > γ.
       Пусть α, β - положительные действительные числа, и               Доказательство. Так как α > β, то А ⊃ В, а так как β
пусть а, а/ и b, b/ - положительные рациональные числа,         > γ, то В ⊃ С, где А/А/, В/В/ и С/С/ - сечения, определяющие
удовлетворяющие неравенствам (1). Произведением αβ чи-          числа α, β и γ соответственно. Из включений А ⊃ В и В ⊃ С
сел α и β называется такое действительное число γ, которое      вытекает А ⊃ С, причем А ≠ С, значит, α > γ.
содержится между всеми произведениями вида аb, с одной                  А3. Если α > β, то найдется γ такое, что α > γ > β
стороны, и всеми произведениями вида а/b/ , с другой. Такое     (свойство плотности). Заметим, что какими бы (быть может,
число γ существует и единственно, каковы бы ни были по-         сколь угодно близкими) ни были α и β такие, что α > β, чи-
ложительные действительные числа α и β. Данное опреде-          сел γ, удовлетворяющих неравенству α > γ > β, можно вы-
ление произведения согласуется с определением произведе-        брать сколь угодно много.
ния для рациональных чисел, что будет показано в следую-                Свойство А3 может быть усилено таким образом: ка-
щем параграфе.                                                  ковы бы ни были два действительных числа α и β такие, что
       Пусть теперь α, β - произвольные (не обязательно         α > β, найдется рациональное число r, удовлетворяющее
положительные) действительные числа. Условимся считать,         неравенству: α > r > β (на самом деле таких рациональных
что α ⋅ 0 = 0 ⋅ α = 0 , каково бы ни было α. Если оба множи-    чисел - бесчисленное множество).
теля отличны от 0, то α β = α ⋅ β , если α и β - числа одно-            Группа Б. Свойства операций сложения и вычитания.
                                                                        Б1. α + β = β + α.
го знака и α β = − α ⋅ β , если числа α и β имеют разные                Б2. (α + β) + γ = α + (β + γ).
                α , если α ≥ 0,                                        Б3. α + 0 = α.
знаки, где α = 
               − α , если α < 0.