Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 5 стр.

знак ∀ заменить на ∃ и наоборот, а знак отрицания перене-               I.3. Если a > b, то найдется такое число с, что a>с> b.
сти на предложение, стоящее после двоеточия. В качестве                 II. Аксиомы, связанные с действиями сложения и
примера        построим     отрицание        предложения                    вычитания.
" ∃M: ∀x ∈ A:f(x) ≤ M" .                                                Каждой паре рациональных чисел а и b поставлено в
                                                               соответствие число а + b, называемое их суммой, удовле-
" ∃M: ∀x ∈ A:f(x) ≤ M" ⇔ " ∀M: ∃x ∈ A:f(x) ≤ M" ⇔
                                                               творяющее условиям:
" ∀M: ∃x ∈ A:f(x) > M" .                                                II.1. a + b = b + а
                                                                        II.2. (a + b) + c = a + (b + c)
              1. Действительные числа                                   II.3. Существует число 0 (нуль) такое, что для любо-
               1.1. Рациональные числа                                  го рационального числа а а + 0=а.
       При изучении основных понятий математического                    II.4. Для любого рационального числа а существует
анализа таких, как сходимость, непрерывность, дифферен-        единственное противоположное ему число -а такое, что
цирование и интегрирование, необходимо основываться на         а + (-а) = 0.
точно определенном понятии числа. Понятие числа являет-                 Разностью а - b называется число с, которое надо
ся первичным и основным в математике. Это понятие про-         прибавить к b, чтобы получить а. Это число есть а + (-b),
шло длительный путь исторического развития. Множество          так как а + (-b) + b = а + [(-b) + b] = {в силу II.4} = а + 0 = а.
натуральных чисел N появилось в связи со счетом предме-                 II.5. Если a > b, то для любого рационального числа с
тов, затем было введено Z и множество рациональных чисел       a + c > b + c.
     m                                                                III. Аксиомы, связанные с действиями умножения и
Q =  , где m, n ∈ Z , n ≠ 0 . Предполагая известной аксио-                деления.
     n                                                                Каждой паре рациональных чисел а и b поставлено в
матику натуральных чисел, остановимся подробно на сис-         соответствие число a ⋅ b (или аb), называемое их произведе-
теме аксиом рациональных чисел, среди которых имеются          нием, удовлетворяющее условиям:
такие, которыми не обладают постоянные числа и которые                  III.1. ab = ba
присущи переменным величинам.                                           III.2. (ab)с = а(bc)
       Система аксиом рациональных чисел состоит из че-                 III.3. Существует число 1 (единица), отличное от 0 и
тырех групп.                                                   такое, что a ⋅ 1 = a для любого рационального числа а.
        I. Аксиомы порядка.                                             III.4. Для любого рационального числа a ≠ 0 сущест-
       Эта группа аксиом основывается на понятии "боль-
                                                                                                           1
ше", которое обусловливает выполнение следующих                вует единственное обратное ему число           такое, что
свойств:                                                                                                   a
       I.1. Для каждой пары рациональных чисел а и b име-          1
                                                               a ⋅ = 1.
ет место одно и только одно из соотношений: а = b, a > b, a        a
< b.                                                                    Частным чисел а и b называется число с такое, что
        I.2. Если a > b, b > c, то a > c.                      c ⋅ b = a ; это равенство будет выполнено, если при b ≠ 0 по-