Курс лекций по математическому анализу. Гатабон В.Д. - 5 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

знак заменить на и наоборот, а знак отрицания перене-
сти на предложение, стоящее после двоеточия. В качестве
примера построим отрицание предложения
"M: x A:f(x) M"∃∀
.
"M: x A:f(x) M"∃∀ "M:x A:f(x) M"∀∃
"M:x A:f(x) M"∀∃
> .
1. Действительные числа
1.1. Рациональные числа
При изучении основных понятий математического
анализа таких, как сходимость, непрерывность, дифферен-
цирование и интегрирование, необходимо основываться на
точно определенном понятии числа. Понятие числа являет-
ся первичным и основным в математике. Это понятие про-
шло длительный путь исторического развития. Множество
натуральных чисел
N появилось в связи со счетом предме-
тов, затем было введено
Z и множество рациональных чисел
= 0,, где, nZnm
n
m
Q
. Предполагая известной аксио-
матику натуральных чисел, остановимся подробно на сис-
теме аксиом рациональных чисел, среди которых имеются
такие, которыми не обладают постоянные числа и которые
присущи переменным величинам.
Система аксиом рациональных чисел состоит из че-
тырех групп.
I.
Аксиомы порядка.
Эта группа аксиом основывается на понятии "боль-
ше", которое обусловливает выполнение следующих
свойств:
I.1. Для каждой пары рациональных чисел а и b име-
ет место одно и только одно из соотношений: а = b, a > b, a
< b.
I.2. Если a > b, b > c, то a > c.
I.3. Если a > b, то найдется такое число с, что a>с> b.
II.
Аксиомы, связанные с действиями сложения и
вычитания.
Каждой паре рациональных чисел а и b поставлено в
соответствие число а + b, называемое их суммой, удовле-
творяющее условиям:
II.1. a + b = b + а
II.2. (a + b) + c = a + (b + c)
II.3. Существует число 0 (нуль) такое, что для любо-
го рационального числа а а + 0=а.
II.4. Для любого рационального числа а существует
единственное противоположное ему число -а такое, что
а + (-а) = 0.
Разностью а - b называется число с, которое надо
прибавить к b, чтобы получить а. Это число есть а + (-b),
так как а + (-b) + b = а + [(-b) + b] = {в силу II.4} = а + 0 = а.
II.5. Если a > b, то для любого рационального числа с
a + c > b + c.
III. Аксиомы, связанные с действиями умножения и
деления.
Каждой паре рациональных чисел а и b поставлено в
соответствие число
ab
(или аb), называемое их произведе-
нием, удовлетворяющее условиям:
III.1.
ab = ba
III.2. (
ab)с = а(bc)
III.3. Существует число 1 (единица), отличное от 0 и
такое, что
aa
=
1 для любого рационального числа а.
III.4. Для любого рационального числа
a 0 сущест-
вует единственное обратное ему число
1
a
такое, что
a
a
⋅=
1
1
.
Частным чисел а и b называется число с такое, что
cb a
=
; это равенство будет выполнено, если при b 0 по-