Введение в теорию многозначных отображений. Часть 2. Неподвижные точки многозначных сжимающих отображений - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

L
(h, z
0
, z
1
) ∈ L
1
[0,1]
× R
n
× R
n
L
v(t) L
∞
[0,1]
x
0
(t) − A(t)x(t) − B(t)v(t) = h(t).
y(t) x
0
= z
0
−
y(0), x
1
= z
1
− y(1)
(x, u) x(0) = x
0
, x(1) =
x
1
L((y, v) + (x, u)) = (h, z
0
, z
1
)
f : [0, 1] × R
n
× R
m
→ R
n
I
1
) x ∈ R
n
, u ∈ R
m
f
x,u
= f(·, x, u) : [0, 1] → R
n
I
2
) t ∈ [0, 1] f
t
= f(t, ·, ·) : R
n
× R
m
→ R
n
I
3
) c > 0 x, y ∈ R
n
, u, v ∈ R
m
t ∈ [0, 1]
||f(t, x, u) − f(t, y, v)|| ≤ c(||x − y|| + ||u − v||).
ˆ
f :
C
[0,1]
× L
∞
[0,1]
→ L
1
[0,1]
,
ˆ
f(x, u)(t) = f(t, x(t), u(t)).
x
0
− A(t)x − B(t)u = f(t, x, u), (5)
x(0) = x
0
, x(1) = x
1
, (6)
A : [0, 1] → L(R
n
, R
n
), B : [0, 1] → L(R
m
, R
n
)
x
0
, x
1
∈ R
n
g : C
[0,1]
×L
∞
[0,1]
→ L
1
[
0, 1]×R
n
×R
n
g(x, u) = (
ˆ
f(x, u), x
0
, x
1
).
x
0
, x
1
∈ R
n
L(x, u) = g(x, u). (7)
   ����� �� ������� ���� ��� ������ ����������� ����� � ������ ������
����� �������� L �������� �������������
  ��������������� ������������� ���������
  ������� �������������� ���������� ������������ �����

                          (h, z0 , z1 ) ∈ L1[0,1] × Rn × Rn
� �������� ��� ��� ����� ����������� ������� �������� ��������� L� �����
v(t) ������������ ������� �� L∞[0,1] ���������� ���������

                       x� (t) − A(t)x(t) − B(t)v(t) = h(t).
����� y(t) � ������������ ������� ����� ���������� ��������� x0 = z0 −
y(0), x1 = z1 − y(1)� � ���� ����� ��� ������� ���� ��� �������� ������ ������
������� ���������� ������� (x, u) ��������� ��� ������ ��� x(0) = x0 , x(1) =
x1 � ����� L((y, v) + (x, u)) = (h, z0 , z1 )� ��� � ����������� ���������
    ��������� �������� ������������� ��������� ��������� ���������� �
����
    ������ ������ ���������� �������� ����� f : [0, 1] × Rn × Rm → Rn �
������������ ��������������� ��������� ���������
I1 ) ��� ����� x ∈ Rn , u ∈ Rm ����������� fx,u = f (·, x, u) : [0, 1] → Rn
�������� �����������
I2 ) ��� ����� ���� t ∈ [0, 1] ����������� ft = f (t, ·, ·) : Rn × Rm → Rn
�������� ������������
I3 ) ���������� ����� ����� c > 0� ��� ��� ����� x, y ∈ Rn , u, v ∈ Rm � �����
���� t ∈ [0, 1] ��������� �����������

               ||f (t, x, u) − f (t, y, v)|| ≤ c(||x − y|| + ||u − v||).

   ��������� ��� ��� ����������� ��������� �������� ������������ fˆ :
                                       ˆ
          [0,1] → L[0,1] , �� �������� f (x, u)(t) = f (t, x(t), u(t)).
                   1
C[0,1] × L∞
   ���������� ��������� ��������

                        x� − A(t)x − B(t)u = f (t, x, u),                  (5)
                              x(0) = x0 , x(1) = x1 ,                      (6)
��� A : [0, 1] → L(Rn , Rn ), B : [0, 1] → L(Rm , Rn ) � ����������� ���������
����
   ����� �������� ��� ������� ���� ��� ������ ����������� ���� ��� ������
���� ��� ����� x0 , x1 ∈ Rn �
   ����� ����������� g : C[0,1] ×L∞ [0,1] → L[ 0, 1]×R ×R ���������� ���������
                                             1        n    n



                            g(x, u) = (fˆ(x, u), x0 , x1 ).
   ��������� ��� ������� ���� ��� �������� ������ ������������ ����� � �����
�� ������ ����� ��� ����� x0 , x1 ∈ Rn ����� ������� ����������� ���������

                                 L(x, u) = g(x, u).                        (7)
  �������� � �������� ��������� ��� ���������� ���������� ������

                                          ��

Страницы