Введение в теорию многозначных отображений. Часть 2. Неподвижные точки многозначных сжимающих отображений - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

f I
1
I
2
I
3
c I
3
1
||L
−1
||
x, y ∈ AC
[0,1]
u
1
, u
2
∈ L
∞
[0,1]
x
0
, x
1
∈ R
n
||g(x, u
1
) − g(y, u
2
)|| = ||
ˆ
f(x, u
1
) −
ˆ
f(y, u
2
)|| =
=
1
Z
0
||f(t, x(t), u
1
(t)) − f(t, y(t), u
2
(t))||dt =
= c
1
Z
0
(||x(t) − y(t)|| + ||u
1
(t) − u
2
(t)||)dt ≤ c(||x − y|| + ||u
1
− u
2
||),
g c
L
x
0
= f(t, x, x
0
), (8)
f : [a, b] × R
n
× R
n
→ R
n
f
c > 0
||f(t, x, u) − f(t, y, v)|| ≤ c(||x − y|| + ||u − v||)
t ∈ [a, b] x, y, u, v ∈ R
n
c c <
2
b−a+2
[a, b]
C
1
[a,b]
[a, b]
d : C
1
[a,b]
→ C
[a,b]
d
dim(Ker(d)) = n
||d
−1
|| =
b−a
2
+ 1
ˆ
f : C
1
[a,b]
→ C
[a,b]
f
c
d(x) =
ˆ
f(x).
  ������� �� ����� ������� ���� ��� �������� ������������ ����� �����
������� f ������������� �������� I1 � I2 � I3 � ���� ����� c �� ������� I3
������ ||L1 || � �� ������� ���� ��� �������� ������ ������������
               −1

    ��������������� ��������� ����� � ������ ������������ �����������
��� ����� ���� ������������� ���������� ������������ ����� x, y ∈ AC[0,1] �
             [0,1] � x0 , x1 ∈ R � �����
                                n
u1 , u 2 ∈ L ∞

                     ||g(x, u1 ) − g(y, u2 )|| = ||fˆ(x, u1 ) − fˆ(y, u2 )|| =
                          �1
                      =        ||f (t, x(t), u1 (t)) − f (t, y(t), u2 (t))||dt =
                          0

           �1
      =c        (||x(t) − y(t)|| + ||u1 (t) − u2 (t)||)dt ≤ c(||x − y|| + ||u1 − u2 ||),
           0

���� g �������� ���������� ������������ � ���������� c�
   ��� ��� �������� L �������� ������������� ��� � ���� ������� �� �����
����� ��� ����� �������� ��� � ���������� ������������

���   ���������������� ����������
�������� ������� � � �������� ���������������� ���������� ��������
������ ������������ ������������ ���������� ��������� ��������������
��� ���������
                            x� = f (t, x, x� ),                  (8)
��� f : [a, b] × Rn × Rn → Rn � ������������� ��������� ���������
�� f � ����������� ������������
�� ���������� ����� ����� c > 0� ���

                     ||f (t, x, u) − f (t, y, v)|| ≤ c(||x − y|| + ||u − v||)

��� ����� t ∈ [a, b]� x, y, u, v ∈ Rn �
  ������� �� ����� ����� c ������������� ����������� c < b−a+2
                                                           2
                                                               � �����
��������� ��� ����� ������� �� ���������� [a, b]�
  ��������������� ����� C[a,b]
                         1
                               � ������������ ���������� �������������
���� �������������� �� ���������� [a, b]� ���������� �������� ���������
��������� d : C[a,b]
                 1
                      → C[a,b] � ��������� ��� d �������� �������� ���������
��� ������������ ���������� � dim(Ker(d)) = n� ���������� ����� ���
��������� ����� ��������� ������������� ����������� � ������� �� �����
��������� ��� ||d−1 || = b−a
                          2
                             + 1�
  ���������� �������� ������������ fˆ : C[a,b]    1
                                                    → C[a,b] � ����������� �����
�������� f � �������� ���������� ��� ��� ����������� �������� ��������
���� � ��������� ������� ����� c�
  ���������� ���������
                                    d(x) = fˆ(x).


                                                   ��

Страницы