Введение в теорию многозначных отображений. Часть 2. Неподвижные точки многозначных сжимающих отображений - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

x A ∈ P (Y )
ρ (x, A) = inf { ρ (x, y) | y ∈ A }.
A, B ∈ P (Y )
ρ
∗
(A, B) = sup
a∈A
ρ (a, B)
A B
ρ
∗
: P (Y ) × P(Y ) → R ∪ ∞
ρ
∗
(A, B) ≥ 0 A, B P (Y )
ρ
∗
(A, B) = 0 A ⊂ B
ρ
∗
(A, B) 6= ρ
∗
(B, A)
ρ
∗
(A, B) ≤ ρ
∗
(A, C) + ρ
∗
(B, C) A, B, C P (Y )
ρ
∗
(A, B) = inf{ε | A ⊂ U
ε
(B)} A, B P (Y )
ρ
∗
(A, B) = 0 x ∈ A ρ (x, B) = 0
B x
A ⊂ B
x ∈ A
ρ (x, B) = inf
y∈B
ρ (x, y) ≤ inf
y∈B
(ρ (x, z) + ρ (z, y)) =
= ρ (x, z) + ρ (z, B),
z C z ∈ C
ρ (x, B) ≤ ρ (x, z) + ρ
∗
(C, B).
ρ (x, B) ≤ inf
z∈C
ρ (x, z) + ρ
∗
(C, B) = ρ (x, C) + ρ
∗
(C, B) ≤
≤ ρ
∗
(A, C) + ρ
∗
(C, B).
ρ
∗
(A, B) ≤ ρ
∗
(A, C) + ρ
∗
(C, B)
ε > ρ
∗
(A, B) x ∈ A y ∈ B
x ∈ U
ε
(y) A ⊂ U
ε
(B)
ρ
∗
(A, B) ≥ inf { ε | A ⊂ U
ε
(B) }.
ε > 0 A ⊂ U
ε
(B) x ∈ A
ρ (x, B) < ε ρ
∗
(A, B) < ε ρ
∗
(A, B) ≤ inf { ε | A ⊂
U
ε
(B) }
  ���������� �� ����� x �� ��������� A ∈ P (Y ) ����
                        ρ (x, A) = inf { ρ (x, y) | y ∈ A }.
����� A, B ∈ P (Y )�
  ����������� �� ��������            ��������� ��� ������������
                               ρ∗ (A, B) = sup ρ (a, B)
                                           a∈A

�������� ��������������� ��������� A �� ��������� B �
   ����������� �� ������� ρ∗ : P (Y ) × P (Y ) → R ∪ ∞ �������� �������
���� �����������
  �� ρ∗ (A, B) ≥ 0 ��� ����� A, B �� P (Y )�
  �� ρ∗ (A, B) = 0 ������ A ⊂ B �
  �� � ����� ������ ρ∗ (A, B) �= ρ∗ (B, A)�
  �� ρ∗ (A, B) ≤ ρ∗ (A, C) + ρ∗ (B, C) ��� ����� A, B, C �� P (Y )�
  �� ρ∗ (A, B) = inf{ε | A ⊂ Uε (B)} ��� ����� A, B �� P (Y )�
   ���������������
  �� �������� ��������������� �� ������������
  �� �� ρ∗ (A, B) = 0 �������� ��� ��� ������ x ∈ A ��������� ρ (x, B) = 0�
     ������ ���������� ������������������ ����� �� B ������ ��� x ��������
     �������� ���� ������������������� �������������� A ⊂ B �
  �� ����� �������� ������� ����� ���������
  �� ��� ������ x ∈ A � ���� ����������� ������������ ���������
                  ρ (x, B) = inf ρ (x, y) ≤ inf (ρ (x, z) + ρ (z, y)) =
                               y∈B            y∈B

                             = ρ (x, z) + ρ (z, B),
    ��� z � ������������ ����� ��������� C � ����� ��� ������ z ∈ C
                            ρ (x, B) ≤ ρ (x, z) + ρ∗ (C, B).
    ������������� �
             ρ (x, B) ≤ inf ρ (x, z) + ρ∗ (C, B) = ρ (x, C) + ρ∗ (C, B) ≤
                         z∈C

                               ≤ ρ∗ (A, C) + ρ∗ (C, B).
    ����� ρ∗ (A, B) ≤ ρ∗ (A, C) + ρ∗ (C, B)�
  �� ����� ε > ρ∗ (A, B)� ����� ��� ����� ����� x ∈ A �������� ����� y ∈ B
     ������ ��� x ∈ Uε (y)� �������������� A ⊂ Uε (B)� �� ����
                          ρ∗ (A, B) ≥ inf { ε | A ⊂ Uε (B) }.
    ���� �� ε > 0 ������ ��� A ⊂ Uε (B)� �� ��� ������ x ∈ A ������
    ���� ρ (x, B) < ε� ����� ρ∗ (A, B) < ε � �� ���� ρ∗ (A, B) ≤ inf { ε | A ⊂
    Uε (B) }� ��������� ���������� ����������� � �������� ��������� �����
    �����

                                          �

Страницы