Введение в теорию многозначных отображений. Часть 2. Неподвижные точки многозначных сжимающих отображений - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

x ∈ B
R
[x
◦
] F (x) ∩ B
R
[x
◦
] 6= ø,
x ∈ B
R
[x
◦
] y ∈ (F (x) ∩ B
R
[x
◦
])
ρ
∗
(F (x) ∩ B
R
[x
◦
], F (y)) ≤ kρ(x, y).
R
1
ρ(x
◦
, F (x
◦
) < R
1
< R(1 − k),
x
∗
F
ρ(x
◦
, x
∗
) ≤
R
1
1 − k
. (1)
F
ˆx
∗
ρ(x
◦
, ˆx
∗
) ≤
2
1 − k
ρ(x
◦
, F (x
◦
)). (2)
x
◦
, x
1
, ...
x
n
∈ B
R
[x
◦
] n = 0, 1, ...,
x
n
∈ F (x
n−1
) n = 1, 2, ...,
ρ(x
n+1
, x
n
) < k
n
R
1
n = 0, 1, ... .
x
◦
x
1
F (x
◦
) ∩ B
R
[x
◦
]
ρ(x
◦
, x
1
) < R
1
n + 1
x
◦
, x
1
, ..., x
n
ρ(x
n
, F (x
n
)) ≤ ρ
∗
(F (x
n−1
) ∩ B
R
[x
◦
], F (x
n
)) ≤ kρ(x
n−1
, x
n
) < k
n
R
1
.
x
n+1
∈ F (x
n
)
ρ(x
n
, x
n+1
) < k
n
R
1
.
x
n+1
B
R
[x
◦
]
ρ(x
◦
, x
n+1
) ≤
n
X
i=0
ρ(x
i
, x
i+1
) <
n
X
i=0
k
i
R
1
<
R
1
1 − k
< R.
x
n+1
{x
n
}
ρ(x
n
, x
n+p
) ≤
n+p−1
X
i=n
ρ(x
i
, x
i+1
) <
n+p−1
X
i=n
k
i
R
1
<
k
n
R
1
1 − k
,
X B
R
[x
◦
]
{x
n
} x
∗
∈ B
R
[x
◦
]
��� ��� ����� ����� x ∈ BR [x◦ ] ����������� F (x) ∩ BR [x◦ ] �= ø,
��� ��� ����� x ∈ BR [x◦ ] � y ∈ (F (x) ∩ BR [x◦ ]) ����������� �����������
                         ρ∗ (F (x) ∩ BR [x◦ ], F (y)) ≤ kρ(x, y).
������ ��� ������ ����� R1 ���������������� �����������
                            ρ(x◦ , F (x◦ ) < R1 < R(1 − k),
���������� ����������� ����� x∗ ����������� F ������ ���
                                                         R1
                                       ρ(x◦ , x∗ ) ≤        .                               (1)
                                                        1−k
����� ����� ����� ����������� ����� ����������� F ���������� �����
xˆ∗ ������ ���
                                               2
                            ρ(x◦ , xˆ∗ ) ≤        ρ(x◦ , F (x◦ )).                          (2)
                                              1−k

  ��������������� �������� ������������������ ����� x◦ , x1 , ... ������
���
                                xn ∈ BR [x◦ ]          n = 0, 1, ...,
                             xn ∈ F (xn−1 )            n = 1, 2, ...,
                                               n
                         ρ(xn+1 , xn ) < k R1              n = 0, 1, ... .
��� ������������������ ����� ������� ����������� ����� ����� x◦ � �����
������ ����� ����� x1 � ������������ ����� �� ����������� F (x◦ ) ∩ BR [x◦ ]
������ ��� ρ(x◦ , x1 ) < R1 � ��������� ��� ��� ��������� n + 1 ����� �����
������������������ x◦ , x1 , ..., xn � �����

      ρ(xn , F (xn )) ≤ ρ∗ (F (xn−1 ) ∩ BR [x◦ ], F (xn )) ≤ kρ(xn−1 , xn ) < k n R1 .
�������������� ���������� ����� ����� xn+1 ∈ F (xn )� ���

                                   ρ(xn , xn+1 ) < k n R1 .
��������� ��� ����� xn+1 ����������� ���� BR [x◦ ]� ��������������
                                 n
                                 �                       n
                                                         �                  R1
              ρ(x◦ , xn+1 ) ≤          ρ(xi , xi+1 ) <          k i R1 <       < R.
                                 i=0                      i=0
                                                                           1−k

����� ������� ����� xn+1 ���������� �������� ����������
  �������� ��������� ��� ����������� ������������������ {xn } ��������
���������������� ��������������
                                 n+p−1                      n+p−1
                                  �                             �                k n R1
               ρ(xn , xn+p ) ≤            ρ(xi , xi+1 ) <             k i R1 <          ,
                                  i=n                           i=n
                                                                                 1−k

��� � ���������� ������������������
   ��� ��� ������������ X ������ � ��������� BR [x◦ ] ��������� �� ���
���������������� {xn } �������� � ��������� ����� x∗ ∈ BR [x◦ ]� ��� ���

                                                   �

Страницы