Введение в теорию многозначных отображений. Часть 2. Неподвижные точки многозначных сжимающих отображений - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

ρ(x
◦
, x
n+1
) <
R
1
1−k
ρ(x
◦
, x
∗
) ≤
R
1
1−k
x
∗
F
ρ(x
n+1
, F (x
∗
)) ≤ ρ
∗
(F (x
n
) ∩ B
R
[x
◦
], F (x
∗
)) ≤ kρ(x
n
, x
∗
).
lim
n→∞
ρ(x
n+1
, F (x
∗
)) = 0 F (x
∗
)
x
∗
∈ F (x
∗
) x
∗
F
ρ(x
0
, x
∗
) ≤
∞
X
n=0
ρ(x
n
, x
n+1
) <
∞
X
n=0
k
n
R
1
=
R
1
1 − k
,
x
◦
F ρ(x
◦
, F (x
◦
)) >
0 R
1
R
1
2
≤ ρ(x
◦
, F (x
◦
)) < R
1
< (1 − k)R.
R
1
ˆx
∗
F
ρ(x
◦
, ˆx
∗
) ≤
R
1
1 − k
≤
2
1 − k
ρ(x
◦
, F (x
◦
)).
X A X
F : A → C(X)
k
x y A
h(F (x), F (y)) ≤ kρ(x, y).
k
F
X F : B
R
[x
◦
] →
C(X) k ∈
[0, 1) ρ(x
◦
, F (x
◦
) < R(1 − k).
R
1
ρ(x
◦
, F (x
◦
) < R
1
< R(1 − k),
                  R1
ρ(x◦ , xn+1 ) < 1−k  � �� �������� � ������� � ���� ������������ ��������� ���
ρ(x◦ , x∗ ) ≤ 1−k �
               R1

   �������� ��� ����� x∗ �������� ����������� ������ ������������� �����
������� F � ��������������
            ρ(xn+1 , F (x∗ )) ≤ ρ∗ (F (xn ) ∩ BR [x◦ ], F (x∗ )) ≤ kρ(xn , x∗ ).
�������������� lim ρ(xn+1 , F (x∗ )) = 0� ��� ��� ��������� F (x∗ ) ���������
                  n→∞
�� x∗ ∈ F (x∗ )� ���� x∗ �������� ����������� ������ F �
   ��� ���
                                �∞                  �∞
                                                                  R1
                  ρ(x0 , x∗ ) ≤     ρ(xn , xn+1 ) <     k n R1 =     ,
                                n=0                 n=0
                                                                 1−k
�� ����������� ��� ���������
   ������� ������ ����������� ���� ���� ����� x◦ �������� �����������
������ ����������� F � �� ����������� ��� ������������ ����� ρ(x◦ , F (x◦ )) >
0� ������� ����� R1 ���� �����
                        R1
                           ≤ ρ(x◦ , F (x◦ )) < R1 < (1 − k)R.
                        2
��� ����� ����� R1 ������ ����������� ����� xˆ∗ ����������� F � �������
��������� ����������� ���� �����
                                        R1    2
                      ρ(x◦ , xˆ∗ ) ≤       ≤     ρ(x◦ , F (x◦ )).
                                       1−k   1−k
������� ���������

   ��� ������� �������� ���������� ������ �� ����������� ����� ��� �����
��� � ����� ��������� ��������� ��� ��������������� ����� ��� ��������
���� �� ����������� ������ ���� ���������� ��������� ��������� �� ����
��������
   ����� X � ����������� ������������� A � ������������ � X �
   ����������� �� ������������ ����������� F : A → C(X) ���������
�� ����������� ���� ���������� ������������� ����� k ������ ��� ���
����� x � y �� A ��������� ������������
                              h(F (x), F (y)) ≤ kρ(x, y).
� ���� ������ k ���������� ���������� ��������
  ���� ������������ ����������� F �������� ���������� �����������
�� � ���������� ������� ������ �������� �� ��� ���������� �������
����
    ����������� ��������� ����������� � ��� �����
    ��������� �� ����� X � ������ ����������� ������������� F : BR [x◦ ] →
C(X) ������������ ��������� ����������� � ���������� ������� k ∈
[0, 1)������ ��������� ��������� �������� ρ(x◦ , F (x◦ ) < R(1 − k).
������ ��� ������ ����� R1 � ���������������� �����������
                            ρ(x◦ , F (x◦ ) < R1 < R(1 − k),

                                             �

Страницы