Введение в теорию многозначных отображений. Часть 2. Неподвижные точки многозначных сжимающих отображений - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

F : X × Y → Cv(X)
k ∈ [0, 1) x
0
, x
00
∈ X
y ∈ Y
h(F (x
0
, y); F(x
00
, y) ≤ k||x
0
− x
00
||;
F
y ∈ Y
F
y
= F (·, y) : X → Cv(X)
F ix(y) = {x | x ∈ F
y
(x)} F ix : Y →
C(X)
A
Y f : A → X
f(y) ∈ F (f(y), y) y ∈ A
g : Y → X
g F ix g(y) ∈
F (g(y), y) y ∈ Y
g f
g|
A
= f
g
n
: Y → X n = 0, 1, 2, ...
g
n
(y) ∈ F (g
n−1
(y), y) y ∈ Y n = 1, 2, ...
r : Y → R
+
y ∈ Y
n = 0, 1, 2, ... ||g
n+1
(y) − g
n
(y)|| < k
n
r(y)
g
n
|
A
= f n = 0, 1, 2, ...
g
0
: Y → X
f Y
Ψ
1
: Y → Cv(E)
Ψ
1
(y) = F (g
0
(y), y)
Ψ
1
q : Y → E r(y) = ||g
0
(y)−q(y)|| +1. r : Y → R
Q : Y → V (E) Q(y) = {x ∈
E | ||g
0
(y) − x|| < r(y)}.
Y × E Q
U Q(y) ∩ Ψ
1
(y) 6= Ø y ∈ Y
f(y) ∈ (Q(y) ∩ Ψ
1
(y)) y ∈ A
g
1
: Y → E
Ψ
1
f
A ||g
1
(y) − g
0
(y)|| < r(y)
   ���������� ������������ ����������� F : X × Y → Cv(X) ������������
���� ��������� ���������
��� ���������� ����� ����� k ∈ [0, 1)� ��� ��� ����� x� , x�� ∈ X � ������
y ∈ Y ����������� ������������
                      h(F (x� , y); F (x�� , y) ≤ k||x� − x�� ||;

��� ������������ ����������� F � �������������� ����� �� ������������
�����������
    ��������� ��� � ���� ��������� �� ��� ������ y ∈ Y ������������ �����
������� Fy = F (·, y) : X → Cv(X) ����� ����������� ������ ���������
F ix(y) = {x | x ∈ Fy (x)}� ��������� ������������ ����������� F ix : Y →
C(X)�
    ������� �� ����� ��������� ������� ���� ���� ����� A � ���������
������������ � Y � f : A → X � ����������� ����������� ������ ���
f (y) ∈ F (f (y), y) ��� ������ y ∈ A�
    ����� ���������� ����������� ����������� g : Y → X �������������
��� ���������
�� g � ����������� ������� ������������� ����������� F ix� ���� g(y) ∈
F (g(y), y) ��� ������ y ∈ Y �
�� ����������� g �������� ����������� ������������ ����������� f �
���� g|A = f �
    ��������������� �������� ������������������ ����������� ���������
��� gn : Y → X � n = 0, 1, 2, ...� ��������������� ���������
�� gn (y) ∈ F (gn−1 (y), y) ��� ������ y ∈ Y � n = 1, 2, ...�
�� ���������� ����� ����������� ������� r : Y → R+ � ��� ��� ������ y ∈ Y
� n = 0, 1, 2, ... ��������� ����������� ||gn+1 (y) − gn (y)|| < k n r(y)�
�� gn |A = f ��� ������ n = 0, 1, 2, ...�
    ��� ������������������ ����� ������� ����������� ����� �����������
g0 : Y → X �������� ������������ ����������� ������������ ���������
��� f �� ��� ������������ Y � ����� ����������� ������ ���������� � ����
������� �������� ��������� ������������ ����������� Ψ1 : Y → Cv(E)
��������� Ψ1 (y) = F (g0 (y), y)� ��������� ��� ��� ����������� �������� ���
������������� ����� � ����� �������� ��������� ������� ������������
��� � ���� ������� ������� ����������� Ψ1 ����� ����������� �������
q : Y → E � ����� r(y) = ||g0 (y) − q(y)|| + 1. ��������� ��� ������� r : Y → R
�������� ������������
    ���������� ������������ ����������� Q : Y → V (E)� Q(y) = {x ∈
E | ||g0 (y) − x|| < r(y)}. �������� ������� ��� ��� ����������� ����� ���
������ ������ � ��� ������ ������ � ������������ Y × E � ���� Q ��������
U �������������� ������� ������ ��� Q(y) ∩ Ψ1 (y) �= Ø ��� ������ y ∈ Y �
f (y) ∈ (Q(y) ∩ Ψ1 (y)) ��� ������ y ∈ A�
    ������ � ���� ������� � � ������� ����������� ������������ ���������
��� � ��� ��� ���� ���� ���������� ����������� ����������� g1 : Y → E �
������� �������� ����������� �������� Ψ1 � ��������� � ������������ f ��
��������� A � ||g1 (y) − g0 (y)|| < r(y)� ��������� ��� ����������� ���������
��� ������������� �������� ����


                                          �

Страницы