Введение в теорию многозначных отображений. Часть 2. Неподвижные точки многозначных сжимающих отображений - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

C(X) X
h : C(X) × C(X) → R ∪ ∞
h (A, B) = max { ρ
∗
(A, B) ; ρ
∗
(B, A) }.
C(X)
A, B ∈ C(X)
h (A, B) ≥ 0
h (A, B) = 0 A = B
h (A, B) = h (B, A)
h (A, B) ≤ h (A, C) + h (C, B) A, B, C C(X)
A = { x
◦
} B = { y
◦
} h (A, B) = ρ (x
◦
, y
◦
)
h(A, B) ρ
∗
(A, B)
M
1
, M
2
E
L ⊂ E
h (M
1
, M
2
) = ρ
∗
(M
1
, M
2
) = ρ
∗
(M
2
, M
1
) =
= inf{ ||x
1
− x
2
|| | x
1
∈ M
1
, x
2
∈ M
2
}.
ρ(x
1
, M
2
) = ρ(x
2
, M
1
)
x
1
∈ M
1
x
2
∈ M
2
x
1
∈ M
1
x
2
∈ M
2
α
1
=
ρ(x
1
, M
2
) α
2
= ρ(x
2
, M
1
) x
0
2
M
2
x
0
1
= x
2
+
(x
1
− x
0
2
) x
0
1
∈ M
1
α
2
≤ ||x
2
− x
0
1
|| = ||x
1
− x
0
2
||.
x
0
2
∈ M
2
α
2
≤ α
1
α
2
= α
1
X B
R
[x
◦
] X
x
◦
F : B
R
[x
◦
] → C(X)
x
∗
∈ B
R
[x
◦
]
F x
∗
∈ F (x
∗
)
X F : B
R
[x
◦
] →
C(X) k ∈ [0, 1)
ρ(x
◦
, F (x
◦
) < R(1 − k),
  ����� C(X) � ��������� �������� ��������� ����������� � X � ��������
��� ������� h : C(X) × C(X) → R ∪ ∞ �

                      h (A, B) = max { ρ∗ (A, B) ; ρ∗ (B, A) }.
��� ������� �������� ������������� �� ��������� C(X)� ��������������
��� ����� A, B ∈ C(X) ��������� �
  �� h (A, B) ≥ 0�
  �� ���� h (A, B) = 0 � �� A = B �
  �� h (A, B) = h (B, A)�
  �� h (A, B) ≤ h (A, C) + h (C, B) ��� ����� A, B, C �� C(X)�
  �� ���� A = { x◦ } � B = { y◦ } � �� h (A, B) = ρ (x◦ , y◦ )�
  �������������� ������������� ������� �������� �� ����������� �������
h(A, B) � ������� ρ∗ (A, B)�
  ����� �� ����� M1 , M2 � �������� ������������ � ������������� ����
��������� E � ���������� �������� ������ � ���� �� ���������������
L ⊂ E � �����
                  h (M1 , M2 ) = ρ∗ (M1 , M2 ) = ρ∗ (M2 , M1 ) =
                      = inf{ ||x1 − x2 || | x1 ∈ M1 , x2 ∈ M2 }.

  ��������������� ���������� ���������� ���
                                ρ(x1 , M2 ) = ρ(x2 , M1 )
��� ����� x1 ∈ M1 � x2 ∈ M2 � ����� x1 ∈ M1 � x2 ∈ M2 � ������� α1 =
ρ(x1 , M2 )� α2 = ρ(x2 , M1 )� ���� x2 ������������ ������ �� M2 � x1 = x2 +
                                     �                              �


(x1 − x2 )� �� x1 ∈ M1 � ����� ����� ��������� ������������
        �       �



                                          �                 �
                            α2 ≤ ||x2 − x1 || = ||x1 − x2 ||.
��� ����������� ����������� ��� ������ x2 ∈ M2 � ������� α2 ≤ α1 � ����
                                                   �


������� ������������ �������� ������������ �������������� α2 = α1 � �����
���������

���   ����������� ����� ������������ ��������� ������������
����� X � ������ ����������� ������������� BR [x◦ ] � ��������� ��� � X �
������� � ����� x◦ � ����� F : BR [x◦ ] → C(X) ������������ ������������
   ����������� �� ����� x∗ ∈ BR [x◦ ] ����� �������� ����������� ����
��� ������������� ����������� F ���� x∗ ∈ F (x∗ )�
   ����������� ��������� ������� � ����������� ������
   ������� �� ����� X � ������ ����������� ������������� F : BR [x◦ ] →
C(X) ������������ ������������ ����� ���������� ����� k ∈ [0, 1) ���
���� ��� ��������� ��������� ��������
��� ρ(x◦ , F (x◦ ) < R(1 − k),
                                              �

Страницы