Введение в теорию многозначных отображений. Часть 2. Неподвижные точки многозначных сжимающих отображений. Гельман Б.Д. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

a : D(a) ⊂ E
1
→ E
2
b ∈ L(E
1
, E
2
) ||b|| <
1
||a
−1
||
a + b : D(a) ⊂ E
1
→ E
2
y
0
E
2
a(x) = y
0
− b(x).
f(x) = y
0
−b(x)
c = ||b|| <
1
||a
−1
||
a : D(a) ⊂ E
1
→ E
2
b ∈ L(E
1
, E
2
) a(x) = y
y ∈ E
2
µ
0
> 0 0 < µ < µ
0
a(x) + µb(x) = y
S(E
1
, E
2
) L(E
1
, E
2
)
a ∈ S(E
1
, E
2
) c ∈
L(E
1
, E
2
) ||a − c|| <
1
||a
−1
||
AC
[0,1]
⊂ C
[a,b]
[0, 1] R
n
L
∞
[0,1]
[0, 1]
R
m
L
1
[0,1]
[0, 1] R
n
x
0
− A(t)x − B(t)u = 0, (3)
x(0) = x
0
, x(1) = x
1
, (4)
A : [0, 1] → L(R
n
, R
n
), B : [0, 1] → L(R
m
, R
n
)
(x = x(t), u = u(t))
x ∈ AC
[0,1]
u ∈ L
∞
[0,1]
t ∈ [0, 1]
x
0
, x
1
∈ R
n
D(L) = AC
[0,1]
× L
∞
[0,1]
⊂ C
[0,1]
× L
∞
[0,1]
.
L : D(L) → L
1
[0,1]
× R
n
× R
n
L(x, u)(t) = (x
0
(t) − A(t)x(t) − B(t)u(t), x(0), x(1)).
L
   ������� �� ����� a : D(a) ⊂ E1 → E2 � ��������� ������������
�������� ��������� ����� b ∈ L(E1 , E2 ) � ||b|| < ||a 1 || � ����� ��������
                                                               −1

a + b : D(a) ⊂ E1 → E2 ����� �������� �������������
  ��������������� ����� y0 � ������������ ����� ������������ E2 � ����
������� ���������
                                 a(x) = y0 − b(x).
��������� ��� ����������� f (x) = y0 −b(x) �������� ���������� � ��������
�� ������� c = ||b|| < ||a−1
                          1
                             ||
                                � �������������� ��� ��������� ����� ��������
��� � ���������� ������������
   ��������� �� ����� a : D(a) ⊂ E1 → E2 � ��������� ������������
�������� b ∈ L(E1 , E2 )� ���� ��������� a(x) = y ��������� ��� ������
y ∈ E2 � �� ���������� ����� µ0 > 0� ��� ��� ������ 0 < µ < µ0 ���������
a(x) + µb(x) = y ����� ����� ��������
   �������������� ���������
  ��������� ����������� �������� ����������� ������������ ������
����� S(E1 , E2 ) ������� � ������������ L(E1 , E2 )�
  ��������������� ���� �������� a ∈ S(E1 , E2 )� �� ����� �������� c ∈
L(E1 , E2 )� ������ ��� ||a − c|| < ||a−1
                                       1
                                          ||
                                             � ����� �������� ������������� ��� �
���������� ����������

���   ����������� ��������
����� AC[0,1] ⊂ C[a,b] � ������������ ��������� ����������� �������� �����
�������� �� ������� [0, 1]� �� ���������� � Rn � L∞
                                                  [0,1] � ������������ �������
��� ����� ����� ������������ �������� ������������ �� ������� [0, 1]� ��
���������� � Rm � L1[0,1] � ������������ ����������� �������� ������������
�� ������� [0, 1]� �� ���������� � Rn �
   ���������� ����������� ��������
                             x� − A(t)x − B(t)u = 0,                          (3)
                              x(0) = x0 , x(1) = x1 ,                         (4)
��� A : [0, 1] → L(R , R ), B : [0, 1] → L(R , R ) � ����������� ���������
                     n   n                      m    n

����
   �������� ���� ������ ����� �������� ����� ���� (x = x(t), u = u(t))�
x ∈ AC[0,1] � ���������� u ∈ L∞
                              [0,1] � ������� ������������� ��������� ��� ���
����� ���� t ∈ [0, 1] � ������� �������� ����
  ����������� ��    ����� �������� ��� ������� ���� ��� ������ ��������
���� ���� ��� ��������� ��� ����� x0 , x1 ∈ Rn �
  ���������� ���������
                     D(L) = AC[0,1] × L∞                 ∞
                                       [0,1] ⊂ C[0,1] × L[0,1] .

����� �������� �������� L : D(L) → L1[0,1] × Rn × Rn ��������� ���������

              L(x, u)(t) = (x� (t) − A(t)x(t) − B(t)u(t), x(0), x(1)).
�������� ���������� ��� L �������� ��������� �������� �����������

                                         ��

Страницы