Сборник задач по высшей математике. Часть II. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одного вещественного аргумента. Гиль Л.Б - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

64
ГЛАВА II. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ
2.1. Понятие производной, правила дифференцирования
Производной функции
(
)
y f x
=
называется предел отношения её
приращения
y
∆
к соответствующему приращению
x
∆
независимой
переменной, когда
x
∆
→0. Производная обозначается:
(
или , или )
y f
′ ′
.
0
(
или , или ) lim ;
x
dy y
y f
dx x
∆ →
∆
′ ′
=
∆
где
( ) ( )
y f x x f x
∆ = + ∆ −
− приращение функции
( )
y f x
=
,
x
∆
− приращение аргумента
x
.
Касательной к графику функции
( )
y f x
=
в точке
0
M
называется
предельное положение секущей
0
M M
при стремлении точки
M
по
кривой к точке
0
M
(рис. 2.1.1).
Рис. 2.1.1
Геометрически производная
y
′
функции
( )
y f x
=
представляет
угловой коэффициент касательной к графику этой функции:
tg
y
α
′
=
.
Уравнение касательной в точке
0
x
0 0 0
( ) ( )( )
y f x f x x x
′
− = −
.
Механический
смысл
производной
: производная пути по времени
(
)
0
s t
′
есть скорость точки в момент
(
)
(
)
0 0 0
:
t v t s t
′
=
.
Функция называется
дифференцируемой
в некоторой точке
x
, если
в этой точке она имеет определённую производную, при этом функция
будет непрерывной в этой точке.
Непрерывность функции есть необходимое (но недостаточное)
условие дифференцируемости функции.
y
x
P
(
)
f x
M
(
)
0
f x x
+
△
(
)
0
f x
f
△
x
△
0
x
0
x x
+
△
α
β

Страницы