Методы работы с разреженными матрицами произвольного вида. Глушакова Т.Н - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

16
Из соотношений (5) и (6) получаем
b=(a– lu(1+ε
1
))(1+ε
2
), (9)
где
|ε
1
|, |ε
2
| ≤ ε
М
. (10)
Так как наличие границ для l и u не предполагается , мы исключаем
произведение lu из уравнения (7) при помощи соотношения (9), и выражаем е
из полученного соотношения :
1
1
21
1)1)(1(
1
1
ε
ε
εε +
−
++
−= ab е
.
Используя границы для a и b, заданные неравенством (8), получаем
+
+
++
−≤
1
1
21
1)1)(1(
1
1
ε
ε
εε
α
M
e .
Учитывая границы для ε
1
и ε
2
, определяемые неравенствами (10), и
предполагая , что ε
М
< 1, мы получаем после некоторых преобразований
оценку
+
−−
≤ 2
1
1
1
1
MM
MM
e
εε
εα .
Рассмотрим элемент а
ij
матрицы А , над которой производится шаг
гауссова исключения по столбцам с выбором главных элементов
непосредственно вдоль диагонали. Алгоритм исключения по столбцам взят в
качестве примера, излагаемые ниже методы и результаты сохраняют силу
также для исключения по строкам . Подразумевается , что элемент
)( k
ij
a каждой
из редуцированных матриц A
(k)
, где A
(1)
≡A, хранится в одной и той же ячейке
памяти. На k-м шаге, где k<min(i,j), мы делим k-ю строку на главный элемент
)( k
kk
a
и запоминаем величину
)()()1(
/
k
kk
k
kj
k
kjkj
aaau =≡
+
на месте, где был записан
элемент
)( k
kj
a
. Операция , выполняемая над элементом
)( k
ij
a
на k - м шаге, при
использовании арифметики с плавающей запятой записывается в следующем
виде:
)()()1( k
ijkjik
k
ij
k
ij
eulaa +−=
+
, (11)
где
)( k
ikik
al = при i ≥ k. Результаты , полученные выше, позволяют оценить
ошибку
)( k
ij
e
, возникшую в вычислениях с плавающей запятой . 
                                                    16
Из соотношений (5) и (6) получаем

                           b=(a–lu(1+ε1))(1+ε2),                                    (9)
где
                           |ε1|, |ε2| ≤ εМ.                       (10)
   Так как наличие границ для l и u не предполагается, мы исключаем
произведение lu из уравнения (7) при помощи соотношения (9), и выражаем е
из полученного соотношения:

                                  �          1           �        ε
                            е =b�� 1 −                     �� −a 1 .
                                    � (1 +ε1 )(1 +ε2 ) �        1 +ε1

Используя границы для a и b, заданные неравенством (8), получаем

                                    �          1           ε                 �
                           e ≤α M �� 1 −                + 1                  � .
                                                                              �
                                      � (1 +ε1 )(1 +ε2 ) 1 +ε1               �

Учитывая границы для ε1 и ε2, определяемые неравенствами (10), и
предполагая, что εМ < 1, мы получаем после некоторых преобразований
оценку

                                                  1       �    1       �
                              e ≤α M εM                   ��      +2 �� .
                                               1 −εM      � 1 −εM        �

       Рассмотрим элемент аij матрицы А, над которой производится шаг
гауссова исключения по столбцам с выбором главных элементов
непосредственно вдоль диагонали. Алгоритм исключения по столбцам взят в
качестве примера, излагаемые ниже методы и результаты сохраняют силу
также для исключения по строкам. Подразумевается, что элемент aij(k ) каждой
из редуцированных матриц A(k), где A(1)≡A, хранится в одной и той же ячейке
памяти. На k-м шаге, где k

Страницы