Методы работы с разреженными матрицами произвольного вида. Глушакова Т.Н - 17 стр.

                                               17
Определим       для    этого    величины α ij =max k aij( k ) , так что

                                  aij( k ) ≤α ij                                (12)

при k ≤ min(i, j). В частности, для k = 1 эти оценки справедливы для
элементов исходной матрицы A ≡ A(1). Оценка (12) определяет границы
только для элементов матрицы L, но не для элементов U. Фактически, если i
≥ j = k, то lik =aik(k ) в силу (4') и значение |lik| ограничено величиной αik. С
другой стороны, если k = i < j, то u kj =akj( k ) / lkk , и поэтому произведение |lkkukj|
ограничено величиной αkj, однако для величины ukj, которая может быть
велика, границу получить не удается.
   Если некоторый элемент матрицы A равен нулю, и позиция, в которой он
расположен, не подвергается заполнению в процессе исключения, то
соответствующие элементы матрицы L или U, расположенные в той же
позиции, будут в точности равны нулю. Более того, над этим элементом не
производится никаких арифметических операций, и соответственно не
возникают погрешности, определяемые уравнением (11). Мы будем отличать
этот случай от другого случая, когда какой-либо элемент матриц L или U
становится равным нулю в результате случайного взаимного уничтожения
образующих его слагаемых, в этом случае погрешность присутствует, так как
в соответствующей позиции происходило заполнение. Такой элемент
матрицы будет рассматриваться как ненулевой. Случайное взаимное
уничтожение происходит редко (за исключением специфических случаев), и
вряд ли стоит пытаться явно учитывать его. Таким образом, ненулевым
считается элемент, отличный от нуля либо равный нулю в результате
взаимного уничтожения, в то время как нулевым считается тот элемент,
который с самого начала был равен нулю и который не подвергался
действию заполнения.
   Заметим, что если хотя бы одно из значений lik или ukj равно нулю, то
уравнение (11) не определяет никакого изменения элемента aij(k ) , и, таким
образом,
                                     eij( k ) =0 .                             (13)

       Уравнение (11) выражает точное соотношение между вычисленными
величинами, оно не отражает влияния общей ошибки, допущенной при
вычислении aij( k +1) . Действительно, для того чтобы оценить общую ошибку,
необходимо было бы учесть ошибки, допущенные при вычислении величин
aij(k ) , lik и ukj. Ошибка eij(k ) , для которой выше были установлены границы,
является не чем иным, как разностью между вычисленным значением aij( k +1) и
тем значением aij( k +1) , которое было бы получено, если бы над величинами
aij(k ) , lik и ukj выполнялись точные арифметические операции.