Решение задач по аналитической геометрии. Линии второго порядка. Глушакова Т.Н - 3 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

§ 1. Эллипс
О п р е д е л е н и е 1.1. Эллипсом называется геометрическое мес-
то точек плоскости, сумма расстояний которых от двух фиксированных
точек (фокусов) есть величина постоянная (рис. 1.1).
Рис. 1.1 Рис. 1.2
1.1. Вывод уравнения эллипса
Пусть точка M(x, y) принадлежит эллипсу, F
1
и F
2
— фокусы
(рис. 1.2). Проведем через точки F
1
и F
2
прямую (это будет ось
(OX)), отрезок [F
1
F
2
] разделим пополам, середину отрезка обозначим
через O и проведем через точку O прямую, перпендикулярную (F
1
F
2
).
Получим ось (OY ).
Пусть |F
1
F
2
| = 2c, тогда F
1
(−c, 0) и F
2
(c, 0).
Положим
r
1
= |M F
1
| =
q
(x + c)
2
+ y
2
, r
2
= |M F
2
| =
q
(x − c)
2
+ y
2
. (1.1)
О п р е д е л е н и е 1.2. r
1
и r
2
называются фокальными
радиус-векторами точки M(x, y).
Из определения эллипса следует, что r
1
+ r
2
= const. Положим
r
1
+ r
2
= 2a. (1.2)
Очевидно, что 2a > 2c и, следовательно,
a > c. (1.3)
Подставим (1.1) в (1.2), получим
q
(x + c)
2
+ y
2
+
q
(x − c)
2
+ y
2
= 2a.
3
   § 1. Эллипс
   О п р е д е л е н и е 1.1. Эллипсом называется геометрическое мес-
то точек плоскости, сумма расстояний которых от двух фиксированных
точек (фокусов) есть величина постоянная (рис. 1.1).




              Рис. 1.1                                  Рис. 1.2

   1.1. Вывод уравнения эллипса
   Пусть точка M (x, y) принадлежит эллипсу, F1 и F2 — фокусы
(рис. 1.2). Проведем через точки F1 и F2 прямую (это будет ось
(OX)), отрезок [F1 F2 ] разделим пополам, середину отрезка обозначим
через O и проведем через точку O прямую, перпендикулярную (F 1 F2 ).
Получим ось (OY ).
   Пусть |F1 F2 | = 2c, тогда F1 (−c, 0) и F2 (c, 0).
   Положим
                 q                                      q
  r1 = |M F1 | = (x + c)2 + y 2 ,        r2 = |M F2 | = (x − c)2 + y 2 .   (1.1)

  О п р е д е л е н и е 1.2. r1 и r2 называются фокальными
радиус-векторами точки M (x, y).
  Из определения эллипса следует, что             r1 + r2 = const.   Положим

                                 r1 + r2 = 2a.                             (1.2)

  Очевидно, что 2a > 2c и, следовательно,

                                    a > c.                                 (1.3)

  Подставим (1.1) в (1.2), получим
                  q                  q
                      (x + c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 2 = 2a.

                                       3

Страницы