Решение задач по аналитической геометрии. Линии второго порядка. Глушакова Т.Н - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Но тогда и точки (p, −q), (−p, q), (−p, −q) также принадлежат
эллипсу, так как
p
2
a
2
+
(−q)
2
b
2
= 1,
(−p)
2
a
2
+
q
2
b
2
= 1,
(−p)
2
a
2
+
(−q)
2
b
2
= 1.
2
0
. Точки пересечения эллипса с осями (OX) и (OY )
1. Найдем точки пересечения эллипса с осью (OX). Так как y = 0,
то
x
2
a
2
= 1, откуда x
2
= a
2
, поэтому x = ±a.
2. Найдем точки пересечения эллипса с осью (OY ). Так как x = 0,
то
y
2
b
2
= 1, откуда y
2
= b
2
, поэтому y = ±b.
Точки A
1
(−a, 0), A
2
(a, 0), B
1
(0, −b), B
2
(0, b) пересечения эллипса
с его осями (рис. 1.3) называются вершинами эллипса.
Расстояние |A
1
A
2
| = 2a называется большой (фокальной) осью
эллипса, расстояние |B
1
B
2
| = 2b — малой осью эллипса. Рас-
стояния от начала координат до вершин A
2
(a, 0), B
2
(0, b) называются
соответственно большой и малой полуосями эллипса.
Рис. 1.3 Рис. 1.4
3
0
. Рассмотрим уравнение эллипса (1.6). Очевидно, что
x
2
a
2
≤ 1,
y
2
b
2
≤ 1, поэтому x
2
≤ a
2
и y
2
≤ b
2
, и, следовательно, |x| ≤ a, |y| ≤ b
(рис. 1.4).
Таким образом, эллипс лежит в прямоугольнике со сторонами 2a, 2b.
5
   Но тогда и точки (p, −q), (−p, q), (−p, −q) также принадлежат
эллипсу, так как
       p2 (−q)2            (−p)2 q 2          (−p)2 (−q)2
          +     = 1,            + 2 = 1,           +      = 1.
       a2   b2              a2   b             a2     b2

  20 . Точки пересечения эллипса с осями (OX) и (OY )
  1. Найдем точки пересечения эллипса с осью (OX). Так как y = 0,
     x2
то    2
        = 1, откуда x2 = a2 , поэтому x = ±a.
     a
   2. Найдем точки пересечения эллипса с осью (OY ). Так как x = 0,
     y2
то     2
         = 1, откуда y 2 = b2 , поэтому y = ±b.
     b
   Точки A1 (−a, 0), A2 (a, 0), B1 (0, −b), B2 (0, b) пересечения эллипса
с его осями (рис. 1.3) называются вершинами эллипса.
   Расстояние |A1 A2 | = 2a называется большой (фокальной) осью
эллипса, расстояние |B1 B2 | = 2b — малой осью эллипса. Рас-
стояния от начала координат до вершин A2 (a, 0), B2 (0, b) называются
соответственно большой и малой полуосями эллипса.




              Рис. 1.3                             Рис. 1.4

                                                                 x2
  3 . Рассмотрим уравнение эллипса (1.6). Очевидно, что
   0
                                                                    ≤ 1,
                                                                 a2
y2
   ≤ 1, поэтому x2 ≤ a2 и y 2 ≤ b2 , и, следовательно, |x| ≤ a, |y| ≤ b
b2
(рис. 1.4).
   Таким образом, эллипс лежит в прямоугольнике со сторонами 2a, 2b.



                                    5

Страницы