Решение задач по аналитической геометрии. Линии второго порядка. Глушакова Т.Н - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 1.5 Рис. 1.6
§ 2. Гипербола
О п р е д е л е н и е 2.1. Гиперболой называется геометрическое
место точек на плоскости, разность расстояний которых от двух фикси-
рованных точек (фокусов) есть величина постоянная (рис. 2.1).
2.1. Вывод уравнения гиперболы
Рис. 2.1
Пусть точка M(x, y) принадлежит ги-
перболе, F
1
и F
2
— фокусы (рис. 2.2).
Проведем через точки F
1
и F
2
прямую.
Разделим отрезок [F
1
F
2
] пополам, середи-
ну отрезка [F
1
F
2
] обозначим через O и
проведем через точку O прямую, перпендикулярную прямой (F
1
F
2
).
Будем считать, что прямая (F
1
F
2
) — это ось (OX), а перпендикулярная
ей прямая — это ось (OY ).
Пусть |F
1
F
2
| = 2c, r
1
= |MF
1
| и r
2
= |MF
2
| — фокальные радиус-
векторы точки M. Из определения гиперболы следует, что r
1
− r
2
=
= const. В зависимости от расположения точки M (на левой или
правой ветвях гиперболы) могут быть два случая: r
1
−r
2
= −2a (точка
M принадлежит левой ветви гиперболы) и r
1
− r
2
= 2a (точка M
принадлежит правой ветви гиперболы), поэтому в об щем случае
r
1
− r
2
= ±2a. (2.1)
Очевидно, что 2a < 2c, поэтому a < c.
Так как F
1
(−c, 0), F
2
(c, 0), то
r
1
= |MF
1
| =
q
(x + c)
2
+ y
2
, r
2
= |MF
2
| =
q
(x − c)
2
+ y
2
. (2.2)
7
                Рис. 1.5                                 Рис. 1.6

  § 2. Гипербола
  О п р е д е л е н и е 2.1. Гиперболой называется геометрическое
место точек на плоскости, разность расстояний которых от двух фикси-
рованных точек (фокусов) есть величина постоянная (рис. 2.1).

                                 2.1. Вывод уравнения гиперболы
                                 Пусть точка M (x, y) принадлежит ги-
                              перболе, F1 и F2 — фокусы (рис. 2.2).
                              Проведем через точки F1 и F2 прямую.
                              Разделим отрезок [F1 F2 ] пополам, середи-
          Рис. 2.1
                              ну отрезка [F1 F2 ] обозначим через O и
проведем через точку O прямую, перпендикулярную прямой (F 1 F2 ).
Будем считать, что прямая (F1 F2 ) — это ось (OX), а перпендикулярная
ей прямая — это ось (OY ).
   Пусть |F1 F2 | = 2c, r1 = |M F1 | и r2 = |M F2 | — фокальные радиус-
векторы точки M . Из определения гиперболы следует, что r 1 − r2 =
= const. В зависимости от расположения точки M (на левой или
правой ветвях гиперболы) могут быть два случая: r 1 −r2 = −2a (точка
M принадлежит левой ветви гиперболы) и r1 − r2 = 2a (точка M
принадлежит правой ветви гиперболы), поэтому в общем случае

                              r1 − r2 = ±2a.                           (2.1)

  Очевидно, что 2a < 2c, поэтому a < c.
  Так как F1 (−c, 0), F2 (c, 0), то
                 q                                  q
  r1 = |M F1 | = (x + c)2 + y 2 ,    r2 = |M F2 | = (x − c)2 + y 2 .   (2.2)

                                    7

Страницы