Решение задач по аналитической геометрии. Линии второго порядка. Глушакова Т.Н - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

4
0
. Понятие эксцентриситета
О п р е д е л е н и е 1.3. Отношение e =
c
a
называется эксцентри-
ситетом эллипса.
В силу (1.3) всегда e < 1.
Эксцентриситет характеризует сплющенность эллипса: если e → 1,
то эллипс вырождается в отрезок, так как
e =
c
a
=
√
a
2
− b
2
a
=
v
u
u
t
a
2
− b
2
a
2
=
v
u
u
t
1 −
b
2
a
2
→ 1 при b → 0;
если же e → 0, то эллипс стремится к окружности, так как
e =
c
a
=
v
u
u
t
1 −
b
2
a
2
→ 0 при b → a.
Заметим, что фокальные радиус-векторы вычисляются следующим
образом:
r
1
= a + ex
r
2
= a − ex
.
5
0
. Понятие директрисы
О п р е д е л е н и е 1.4. Директрисами эллипса называются две
прямые, параллельные малой оси и отстоящие от нее на расстоянии,
равном
a
e
(на рис. 1.5 это прямые (CD) и (P Q)).
Уравнения директрис имеют следующий вид: x = −
a
e
, x =
a
e
.
З а м е ч а н и е. Отношение расстояния от любой точки эллипса до
фокуса (r
1
или r
2
) к расстоянию от той же точки до соответствующей
(то есть расположенной по эту же сторону от малой оси) директрисы (d
1
или d
2
) равно эксцентриситету:
r
1
d
1
= e и
r
2
d
2
= e.
6
0
. Касательная к эллипсу
Уравнение касательной к эллипсу в точке касания M
0
(x
0
, y
0
) (рис. 1.6)
имеет в ид
xx
0
a
2
+
yy
0
b
2
= 1. (1.7)
6
   40 . Понятие эксцентриситета
                                             c
   О п р е д е л е н и е 1.3. Отношение e =    называется эксцентри-
                                             a
ситетом эллипса.
   В силу (1.3) всегда e < 1.
   Эксцентриситет характеризует сплющенность эллипса: если e → 1,
то эллипс вырождается в отрезок, так как
               √           v
                           u 2
                                       v
                                       u
          c      a2 − b2 u t a −  b 2  u
                                       t  b2
      e= =               =            = 1− 2 →1     при    b → 0;
          a        a           a2         a
если же e → 0, то эллипс стремится к окружности, так как
                          v
                          u
                   c u
                     t  b2
                 e= = 1− 2 →0              при    b → a.
                   a    a
   Заметим, что фокальные радиус-векторы вычисляются следующим
образом:                 
                         
                          r1 = a + ex
                         
                                       .
                          r2 = a − ex




   50 . Понятие директрисы
   О п р е д е л е н и е 1.4. Директрисами эллипса называются две
прямые, параллельные малой оси и отстоящие от нее на расстоянии,
         a
равном      (на рис. 1.5 это прямые (CD) и (P Q)).
         e                                              a       a
   Уравнения директрис имеют следующий вид: x = − , x = .
                                                        e       e
   З а м е ч а н и е. Отношение расстояния от любой точки эллипса до
фокуса (r1 или r2 ) к расстоянию от той же точки до соответствующей
(то есть расположенной по эту же сторону от малой оси) директрисы (d 1
                                  r1        r2
или d2 ) равно эксцентриситету:      =e и      = e.
                                  d1        d2

  60 . Касательная к эллипсу
  Уравнение касательной к эллипсу в точке касания M 0 (x0 , y0 ) (рис. 1.6)
имеет вид

                              xx0 yy0
                                  + 2 = 1.                           (1.7)
                               a2   b


                                    6

Страницы