Решение задач по аналитической геометрии. Линии второго порядка. Глушакова Т.Н - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Перенесем один из корней вправо:
q
(x + c)
2
+ y
2
= 2a −
q
(x − c)
2
+ y
2
.
Возведем обе части равенства в квадрат, получим
(x + c)
2
+ y
2
= 4a
2
+ (x − c)
2
+ y
2
− 4a
q
(x − c)
2
+ y
2
.
Приведем подобные слагаемые
2xc = −2xc + 4a
2
− 4a
q
(x − c)
2
+ y
2
.
Перенесем корень влево, а все остальные слагаемые — вправо, приве-
дем подобные слагаемые и разделим обе части уравнения на 4, получим
a
q
(x − c)
2
+ y
2
= a
2
− xc.
Возведем обе части уравнения в квадрат, раскроем скобки и приведем
подобные сла гаемые при x
2
:
a
2
[(x − c)
2
+ y
2
] = a
4
− 2xca
2
+ x
2
c
2
,
a
2
x
2
+ a
2
c
2
− a
2
· 2xc + a
2
y
2
= a
4
− 2xca
2
+ x
2
c
2
,
a
2
x
2
+ a
2
c
2
+ a
2
y
2
= a
4
+ x
2
c
2
,
(a
2
− c
2
)x
2
+ a
2
y
2
= a
2
(a
2
− c
2
). (1.4)
Положим b
2
= a
2
− c
2
(b
2
> 0 в силу (1.3)), тогда из (1.4) следует,
что
b
2
x
2
+ a
2
y
2
= a
2
b
2
. (1.5)
Разделим (1.5) на a
2
b
2
, получим каноническое уравнение эл-
липса
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1. (1.6)
1.2. Свойства эллипса
1
0
. Симметрия относительно осей (OX) и (OY )
Пусть т очка (p, q) принадлежит эллипсу, то есть
p
2
a
2
+
q
2
b
2
= 1.
4
  Перенесем один из корней вправо:
                   q                                      q
                       (x +   c)2   +   y2   = 2a − (x − c)2 + y 2 .

  Возведем обе части равенства в квадрат, получим
                                                                  q
               2        2           2                 2       2
        (x + c) + y = 4a + (x − c) + y − 4a (x − c)2 + y 2 .

  Приведем подобные слагаемые
                                                          q
                                              2
                   2xc = −2xc + 4a − 4a (x − c)2 + y 2 .

  Перенесем корень влево, а все остальные слагаемые — вправо, приве-
дем подобные слагаемые и разделим обе части уравнения на 4, получим
                              q
                            a (x − c)2 + y 2 = a2 − xc.

  Возведем обе части уравнения в квадрат, раскроем скобки и приведем
подобные слагаемые при x2 :

                   a2 [(x − c)2 + y 2 ] = a4 − 2xca2 + x2 c2 ,

           a2 x2 + a2 c2 − a2 · 2xc + a2 y 2 = a4 − 2xca2 + x2 c2 ,
                        a2 x2 + a2 c2 + a2 y 2 = a4 + x2 c2 ,
                       (a2 − c2 )x2 + a2 y 2 = a2 (a2 − c2 ).          (1.4)
  Положим b2 = a2 − c2 (b2 > 0 в силу (1.3)), тогда из (1.4) следует,
что
                       b2 x2 + a 2 y 2 = a 2 b2 .               (1.5)
  Разделим (1.5) на a2 b2 , получим каноническое уравнение эл-
липса
                            x2 y 2
                               +   = 1.                   (1.6)
                            a2 b2

  1.2. Свойства эллипса
  10 . Симметрия относительно осей (OX) и (OY )
  Пусть точка (p, q) принадлежит эллипсу, то есть
                                        p2 q 2
                                          +    = 1.
                                        a2 b2
                                                  4

Страницы