Решение задач по аналитической геометрии. Линии второго порядка. Глушакова Т.Н - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Подставим (2.2) в (2.1), получим
q
(x + c)
2
+ y
2
−
q
(x − c)
2
+ y
2
= ±2a.
Перенесем второй корень вправо:
q
(x + c)
2
+ y
2
=
q
(x − c)
2
+ y
2
± 2a.
Возведем обе части равенства в квадрат и приведем подобные слага-
емые, получим
x
2
+ c
2
+ 2xc + y
2
= x
2
+ c
2
− 2x + y
2
± 4a
√
x
2
+ c
2
+ y
2
− 2xc + 4a
2
,
4xc − 4a
2
= ±4a
√
x
2
+ c
2
+ y
2
− 2xc.
Разделим обе части равенства на 4 и возведем их в квадрат:
c
2
x
2
− 2xca
2
+ a
4
= a
2
x
2
+ a
2
c
2
+ a
2
y
2
− 2a
2
xc,
(c
2
− a
2
)x
2
− a
2
y
2
= a
2
(c
2
− a
2
).
Положим b
2
= c
2
− a
2
(так как c > a), тогда последнее уравнение
перепишется в виде
b
2
x
2
− a
2
y
2
= a
2
b
2
. (2.3)
Разделим уравнение (2.3) на a
2
b
2
, получим каноническое уравне-
ние гиперболы
x
2
a
2
−
y
2
b
2
= 1. (2.4)
Рис. 2.2 Рис. 2.3
2.2. Свойства гиперболы
1
0
. Симметрия относительно осей (OX) и (OY )
Пусть точка (p, q) принадлежит гиперболе, тогда ее координаты
удовлетворяют уравнению гиперболы (2.4), то есть
8
  Подставим (2.2) в (2.1), получим
                  q                      q
                    (x + c)2 + y 2 − (x − c)2 + y 2 = ±2a.
  Перенесем второй корень вправо:
                  q                      q
                    (x + c)2 + y 2 = (x − c)2 + y 2 ± 2a.
  Возведем обе части равенства в квадрат и приведем подобные слага-
емые, получим
                                               √
  x2 + c2 + 2xc + y 2 = x2 + c2 − 2x + y 2 ± 4a x2 + c2 + y 2 − 2xc + 4a2 ,
                                   √
                 4xc − 4a2 = ±4a x2 + c2 + y 2 − 2xc.
  Разделим обе части равенства на 4 и возведем их в квадрат:
             c2 x2 − 2xca2 + a4 = a2 x2 + a2 c2 + a2 y 2 − 2a2 xc,
                         (c2 − a2 )x2 − a2 y 2 = a2 (c2 − a2 ).
   Положим b2 = c2 − a2 (так как c > a), тогда последнее уравнение
перепишется в виде
                        b2 x2 − a 2 y 2 = a 2 b2 .            (2.3)
  Разделим уравнение (2.3) на a2 b2 , получим каноническое уравне-
ние гиперболы
                            x2 y 2
                               −      = 1.                    (2.4)
                            a2 b2




              Рис. 2.2                                      Рис. 2.3

   2.2. Свойства гиперболы
   10 . Симметрия относительно осей (OX) и (OY )
   Пусть точка (p, q) принадлежит гиперболе, тогда ее координаты
удовлетворяют уравнению гиперболы (2.4), то есть

                                          8

Страницы