Решение задач по аналитической геометрии. Линии второго порядка. Глушакова Т.Н - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Рассмотрим сначала случай y = b
v
u
u
t
x
2
a
2
− 1.
Проделаем следующие преобразования:
y = b
v
u
u
t
x
2
a
2
− 1 =
b
a
√
x
2
− a
2
=
b
a
(
√
x
2
− a
2
− x + x) =
=
b
a
x +
b
a
(
√
x
2
− a
2
− x) =
b
a
x +
b
a
·
(
√
x
2
− a
2
− x)(
√
x
2
− a
2
+ x)
√
x
2
− a
2
+ x
=
=
b
a
x +
b
a
·
x
2
− a
2
− x
2
√
x
2
− a
2
+ x
=
b
a
x +
b
a
·
−a
2
√
x
2
− a
2
+ x
=
=
b
a
x −
ab
√
x
2
− a
2
+ x
.
При x → +∞
√
x
2
− a
2
+ x → +∞, а
ab
√
x
2
− a
2
+ x
→ + 0,
поэтому гипербола приближается к прямой y =
b
a
x.
Аналогично для случая y = −b
v
u
u
t
x
2
a
2
− 1 получаем вторую асимп-
тоту
y = −
b
a
x.
З а м е ч а н и е. Асимптоты являются диагоналями прямоугольни-
ка, центр которого совпадает с центром гиперболы, а стороны равны и
параллельны осям гиперболы (рис. 2.4).
Рис. 2.4 Рис. 2.5
4
0
. Из уравнения (2.4) следует, что
x
2
a
2
= 1 +
y
2
b
2
≥ 1, поэтому
x
2
a
2
≥ 1
и, следовательно, |x| ≥ a.
10
                                          v
                                          u 2
                                          ux
  Рассмотрим сначала случай y =          bt 2   − 1.
                                            a
  Проделаем следующие преобразования:
                v
                u 2
                ux          b√ 2           b √
          y=   bt 2   −1=      x − a2 = ( x2 − a2 − x + x) =
                  a        a              a
                                          √               √
     b     b √ 2               b    b   (   x 2 − a2 − x)( x2 − a2 + x)
  = x + ( x − a2 − x) = x + ·                     √                     =
     a    a                    a    a                x2 − a 2 + x
             b     b x2 − a 2 − x 2    b        b       −a2
          = x+ · √ 2                = x+ · √ 2                    =
             a     a    x − a2 + x a            a    x − a2 + x
                             b           ab
                          = x− √ 2                .
                             a      x − a2 + x
                       √                                       ab
   При x → +∞            x2 − a2 + x → +∞, а √ 2                     → + 0,
                                                          x − a2 + x
                                                       b
поэтому гипербола приближается к прямой y = x.
                                      v                a
                                      u 2
                                      ux
   Аналогично для случая y = −b t 2 − 1 получаем вторую асимп-
                                        a
тоту
                                       b
                                 y = − x.
                                       a
   З а м е ч а н и е. Асимптоты являются диагоналями прямоугольни-
ка, центр которого совпадает с центром гиперболы, а стороны равны и
параллельны осям гиперболы (рис. 2.4).




               Рис. 2.4                                Рис. 2.5

                                       x2     y2              x2
   4 . Из уравнения (2.4) следует, что 2 = 1 + 2 ≥ 1, поэтому 2 ≥ 1
    0
                                       a      b               a
и, следовательно, |x| ≥ a.

                                    10

Страницы