Решение задач по аналитической геометрии. Линии второго порядка. Глушакова Т.Н - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

p
2
a
2
−
q
2
b
2
= 1. (2.5)
Но тогда и координаты точек (−p, q), (p, −q), (−p, −q) также удо-
влетворяют уравнению (2.5), так как
(−p)
2
a
2
−
q
2
b
2
= 1,
p
2
a
2
−
(−q)
2
b
2
= 1,
(−p)
2
a
2
−
(−q)
2
b
2
= 1.
2
0
. Точки пересечения с осью (OX)
Положим в уравнении (2.4) y = 0, тогда x
2
= a
2
и x = ±a. Таким
образом, точки A
1
(−a, 0) и A
2
(a, 0) — точки пересечения с осью (OX)
(рис. 2.3). Их называют действительными вершинами гипербо-
лы, а расстояние |A
1
A
2
| = 2a — действительной (вещественной) или
фокальной осью гиперболы. Ось ординат не пересекает гиперболу,
поэтому действ ительное число 2b называется мнимой осью гипер-
болы. Числа a и b называются соответственно вещественной и
мнимой полуосями гиперболы.
Очевидно, что гипербола состоит из двух ветвей — правой и левой,
простирающихся в беско нечность.
З а м е ч а н и е. Если мнима я ось гиперболы имеет длину 2a и
направлена по оси (OX), а действительная ось длиной 2b совпадает с
осью (OY ), то уравнение гиперболы имеет вид
−
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1. (2.6)
О п р е д е л е н и е 2.2. Гиперболы, заданные уравнениями (2.4) и
(2.6), называются сопряженными гиперболами.
О п р е д е л е н и е 2.3. Если a = b, гипербола называется
равносторонней.
3
0
. Асимптоты гиперболы
У гиперболы есть две асимптоты — прямые, к которым приближается
гипербола при x → ±∞.
Перепишем уравнение (2.4) следующим о бразом:
y
2
b
2
=
x
2
a
2
− 1, y
2
= b
2
(
x
2
a
2
− 1), y = ±b
v
u
u
t
x
2
a
2
− 1.
9
                             p2 q 2
                               −    = 1.                        (2.5)
                             a2 b2
   Но тогда и координаты точек (−p, q), (p, −q), (−p, −q) также удо-
влетворяют уравнению (2.5), так как
       (−p)2 q 2         p2 (−q)2           (−p)2 (−q)2
            − 2 = 1,        −     = 1,           −      = 1.
        a2   b           a2   b2             a2     b2
   20 . Точки пересечения с осью (OX)
   Положим в уравнении (2.4) y = 0, тогда x2 = a2 и x = ±a. Таким
образом, точки A1 (−a, 0) и A2 (a, 0) — точки пересечения с осью (OX)
(рис. 2.3). Их называют действительными вершинами гипербо-
лы, а расстояние |A1 A2 | = 2a — действительной (вещественной) или
фокальной осью гиперболы. Ось ординат не пересекает гиперболу,
поэтому действительное число 2b называется мнимой осью гипер-
болы. Числа a и b называются соответственно вещественной и
мнимой полуосями гиперболы.
   Очевидно, что гипербола состоит из двух ветвей — правой и левой,
простирающихся в бесконечность.
   З а м е ч а н и е. Если мнимая ось гиперболы имеет длину 2a и
направлена по оси (OX), а действительная ось длиной 2b совпадает с
осью (OY ), то уравнение гиперболы имеет вид
                               x2 y 2
                              − 2 + 2 = 1.                      (2.6)
                               a    b
   О п р е д е л е н и е 2.2. Гиперболы, заданные уравнениями (2.4) и
(2.6), называются сопряженными гиперболами.
  О п р е д е л е н и е 2.3. Если a = b, гипербола называется
равносторонней.

   30 . Асимптоты гиперболы
   У гиперболы есть две асимптоты — прямые, к которым приближается
гипербола при x → ±∞.
   Перепишем уравнение (2.4) следующим образом:
                                                    v
            2     2               2                 u 2
           y    x                 x                 ux
             2
               = 2 − 1, y 2 = b2 ( 2 − 1), y =   ±b t 2   − 1.
           b    a                 a                   a
                                  9

Страницы