Решение задач по аналитической геометрии. Линии второго порядка. Глушакова Т.Н - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

§ 3. Парабола
О п р е д е л е н и е 3.1. Параболой называется геометрическое место
точек на плоскости, расстояние от которых до некоторой точки — фоку-
са — равно расстоянию до некоторой прямой — директрисы (рис. 3.1).
Рис. 3.1 Рис. 3.2
3.1. Вывод уравнения параболы
Пусть M(x, y) — некоторая точка параболы, F — фокус, d — ди-
ректриса. Опустим из точки F перпендикуляр на прямую d. Точку
пересечения обозначим через A. Разделим отрезок [AF ] пополам и се-
редину отрезка о бозначим через O. Проведем через точку O прямую,
перпендикулярную прямой (AF ). Получим ось (OY ). В качестве оси
(OX) возьмем прям ую (AF ). Опустим из точки M перпендикуляр
на прямую d и точку пересечения обозначим через B (рис. 3.2).
Положим |AF | = p, тогда A
−
p
2
, 0
!
, F
p
2
, 0
!
. Из определения
параболы следует, что
|MF | = |M B|. (3.1)
Так как
|MF | =
v
u
u
t
x −
p
2
!
2
+ y
2
, |MB| = x +
p
2
, (3.2)
то, подставив (3.2) в (3.1), получим
v
u
u
t
x −
p
2
!
2
+ y
2
= x +
p
2
.
12
   § 3. Парабола
   О п р е д е л е н и е 3.1. Параболой называется геометрическое место
точек на плоскости, расстояние от которых до некоторой точки — фоку-
са — равно расстоянию до некоторой прямой — директрисы (рис. 3.1).




         Рис. 3.1                                             Рис. 3.2

   3.1. Вывод уравнения параболы
   Пусть M (x, y) — некоторая точка параболы, F — фокус, d — ди-
ректриса. Опустим из точки F перпендикуляр на прямую d. Точку
пересечения обозначим через A. Разделим отрезок [AF ] пополам и се-
редину отрезка обозначим через O. Проведем через точку O прямую,
перпендикулярную прямой (AF ). Получим ось (OY ). В качестве оси
(OX) возьмем прямую (AF ). Опустим из точки M перпендикуляр
на прямую d и точку пересечения обозначим через B (рис. 3.2).
                                        !         !
                                     p       p
   Положим |AF | = p, тогда A − , 0 , F        , 0 . Из определения
                                     2       2
параболы следует, что
                           |M F | = |M B|.                     (3.1)
  Так как
                          v
                          u          !2
                          u
                          t      p                           p
               |M F | =       x−          + y2,   |M B| = x + ,          (3.2)
                                 2                           2
то, подставив (3.2) в (3.1), получим
                          v
                          u           !2
                          u
                          t      p                   p
                              x−           + y2 = x + .
                                 2                   2
                                           12

Страницы