Решение задач по аналитической геометрии. Линии второго порядка. Глушакова Т.Н - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Р е ш е н и е
1) Из условия задачи следует, что
x
2
4
2
+
y
2
2
2
= 1, то есть уравнение
эллипса имеет вид
x
2
16
+
y
2
4
= 1.
2) Так как 2c = 6, a = 5, то b
2
= a
2
− c
2
= 5
2
− 3
2
= 16 и уравне-
ние эллипса имеет вид
x
2
25
+
y
2
16
= 1.
3) Так как a = 10, e = 0, 8 и e =
c
a
, то c = 8 и, следовательно,
b
2
= a
2
−c
2
= 100 −64 = 36, поэтому уравнение эллипса имеет вид
x
2
100
+
y
2
36
= 1.
4) Так как b = 3, e =
√
2
2
и e =
√
a
2
− b
2
a
, то
1
2
=
a
2
− 9
a
2
, поэтому
a
2
= 18 и уравнение эллипса имеет следующий вид
x
2
18
+
y
2
9
= 1.
5) Так как a + b = 8, 2c = 8, то c = 4, b
2
= (8 − b)
2
− 16 и,
следовательно, b = 3, поэтому a = 5 и уравнение эллипса имеет следу-
ющий вид
x
2
15
+
y
2
9
= 1.
№ 379. Сторона ромба равна 5 и
Рис. 3.3
высота 4, 8. Через две противолежа-
щие его вершины проходит эллипс,
фокусы которого совпадают с дву-
мя другими вершинами ромба. Со-
ставить уравнение эллипса, приняв
диагонали ромба за оси координат.
Р е ш е н и е
Пусть ABCD — ромб, |AB| = 5,
[BK] ⊥ [DC], |BK| = 4, 8, точки
A, C принадлежат эллипсу, точки B, D — его фокусы (рис. 3.3).
Рассмотрим △BKC. Так |CK|
2
= |BC|
2
− |BK|
2
, то |CK|
2
=
= 5
2
− (4, 8)
2
= 2, 96 и, следовательно, |CK| = 1, 4, поэтому |DK| =
14
                             Решение
                                       x2 y 2
  1) Из условия задачи следует, что      +    = 1,   то есть уравнение
                                       42 22
                     x2 y 2
эллипса имеет вид       +    = 1.
                     16   4
   2) Так как 2c = 6, a = 5, то b2 = a2 − c2 = 52 − 32 = 16 и уравне-
                         x2 y 2
ние эллипса имеет вид      +    = 1.
                         25 16
                                       c
   3) Так как a = 10, e = 0, 8 и e = , то c = 8 и, следовательно,
                                       a
b = a − c = 100 − 64 = 36, поэтому уравнение эллипса имеет вид
 2    2    2

                                x2   y2
                                   +     = 1.
                               100 36
                          √         √
                            2         a2 − b2      1 a2 − 9
   4) Так как b = 3, e =      и e=            , то   =        , поэтому
                           2            a          2      a2
                                                       x2 y 2
a2 = 18 и уравнение эллипса имеет следующий вид            +    = 1.
                                                       18    9
   5) Так как a + b = 8, 2c = 8, то c = 4, b2 = (8 − b)2 − 16 и,
следовательно, b = 3, поэтому a = 5 и уравнение эллипса имеет следу-
             x2 y 2
ющий вид        +    = 1.
             15   9

                                       № 379. Сторона ромба равна 5 и
                                    высота 4, 8. Через две противолежа-
                                    щие его вершины проходит эллипс,
                                    фокусы которого совпадают с дву-
                                    мя другими вершинами ромба. Со-
                                    ставить уравнение эллипса, приняв
                                    диагонали ромба за оси координат.
                                              Решение
                                       Пусть ABCD — ромб, |AB| = 5,
               Рис. 3.3             [BK] ⊥ [DC], |BK| = 4, 8, точки
A, C принадлежат эллипсу, точки B, D — его фокусы (рис. 3.3).
   Рассмотрим △BKC. Так |CK|2 = |BC|2 − |BK|2 , то |CK|2 =
= 52 − (4, 8)2 = 2, 96 и, следовательно, |CK| = 1, 4, поэтому |DK| =

                                  14

Страницы