Решение задач по аналитической геометрии. Линии второго порядка. Глушакова Т.Н - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

= 5 − 1, 4 = 3, 6.
Рассмотрим △BKD. Так как |BD|
2
= |DK|
2
+ |BK|
2
, то |BD|
2
=
= −3, 6
2
+ 4, 8
2
= 12, 96 + 23, 04 = 36 и, следовательно, |BD| = 6,
поэтому |OB| = 3 = c и |OA| = 4 = b. Так как a
2
= b
2
+ c
2
= 4
2
+
+3
2
= 25, то уравнение эллипса имеет вид
x
2
9
+
y
2
25
= 1.
№ 385. Определить эксцентриситет эллипса, зная, что:
1) малая ось его видна из фокуса под прямым углом (т. е.
d
B
1
F
2
B
2
= 90
0
);
2) расстояние между фокусами равно расстоянию между вершинами ма-
лой и большой осей;
3) расстояние между директрисами в четыре раза больше расстояния
между фокусами.
Р е ш е н и е
Рассмотрим случай 2) (рис. 3.4).
Так как 2c = |A
1
B
1
| и |A
1
B
1
|
2
= a
2
+ b
2
, то a
2
+ b
2
= 4c
2
. С другой
стороны, из определения эллипса следует, что a
2
− b
2
= c
2
. Таким
образом, получили систему
a
2
+ b
2
= 4c
2
a
2
− b
2
= c
2
, откуда 2a
2
= 5c
2
и,
следовательно, a =
v
u
u
t
5
2
c, поэтому e =
c
s
5
2
c
=
v
u
u
t
2
5
.
Рис. 3.4 Рис. 3.5
№ 394. На эллипсе, один из фокусов которого имеет координаты
(+3; 0), взята точка M(+4; +2, 4). Найти расстояние этой точки до соот-
15
= 5 − 1, 4 = 3, 6.
   Рассмотрим △BKD. Так как |BD|2 = |DK|2 + |BK|2 , то |BD|2 =
= −3, 62 + 4, 82 = 12, 96 + 23, 04 = 36 и, следовательно, |BD| = 6,
поэтому |OB| = 3 = c и |OA| = 4 = b. Так как a2 = b2 + c2 = 42 +
+32 = 25, то уравнение эллипса имеет вид
                           x2 y 2
                             +      = 1.
                           9     25

   № 385. Определить эксцентриситет эллипса, зная, что:
                                                               d
1) малая ось его видна из фокуса под прямым углом (т. е. B1 F    2 B2 = 90 );
                                                                          0

2) расстояние между фокусами равно расстоянию между вершинами ма-
лой и большой осей;
3) расстояние между директрисами в четыре раза больше расстояния
между фокусами.
                                Решение
   Рассмотрим случай 2) (рис. 3.4).
   Так как 2c = |A1 B1 | и |A1 B1 |2 = a2 + b2 , то a2 + b2 = 4c2 . С другой
стороны, из определения эллипса
                                    следует, что a2 − b2 = c2 . Таким
                             
                              a2 + b2 = 4c2
образом, получили систему  2                    , откуда 2a2 = 5c2 и,
                              a − b2 = c 2
                         v                           v
                         u                           u
                         u5                  c    u2
                         t
следовательно, a =          c, поэтому e = s     =t .
                          2                  5     5
                                               c
                                             2




              Рис. 3.4                                 Рис. 3.5

  № 394. На эллипсе, один из фокусов которого имеет координаты
(+3; 0), взята точка M (+4; +2, 4). Найти расстояние этой точки до соот-

                                     15

Страницы