Решение задач по аналитической геометрии. Линии второго порядка. Глушакова Т.Н - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Р е ш е н и е
Уравнение касательной к эллипсу в точке (x
1
, y
1
) имеет вид
x
1
a
2
x +
y
1
b
2
y = 1. Так как Ax + By + C = 0 — уравнение той же каса-
тельной, то коэффициенты при соответствующих переменных должны
быть пропорциональны, поэтому
x
2
1
a
2
A
=
y
2
1
b
2
B
=
−1
C
, откуда
x
1
= −
a
2
A
C
y
1
= −
b
2
B
C
— координаты точки касания. Так как точка (x
1
, y
1
) лежит на эллипсе,
то ее координаты удовлетворяют уравнению эллипса
x
2
1
a
2
+
y
2
1
b
2
= 1, по-
этому выполняется следующее соотношение
−
a
2
A
C
2
a
2
+
−
b
2
B
C
2
b
2
= 1,
то есть
a
2
A
2
C
2
+
b
2
B
2
C
2
= 1, откуда a
2
A
2
+ b
2
B
2
= C
2
.
№ 422. Эллипс касается оси абсцисс в точке A(+7; 0) и оси ординат
в точке B(0; +4). Составить уравнение эллипса, если известно, что оси
его параллельны осям координат.
Р е ш е н и е
Из условия задачи следует, что центр эллипса находится в точке (7; 4)
(рис. 3.6), a = 7, b = 4, и, следовательно, уравнение эллипса имеет
следующий вид
(x − 7)
2
49
+
(y − 4)
2
16
= 0.
Рис. 3.6 Рис. 3.7
17
                             Решение
   Уравнение касательной к эллипсу в точке (x1 , y1 ) имеет вид
x1     y1
   x +    y = 1. Так как Ax + By + C = 0 — уравнение той же каса-
a2     b2
тельной, то коэффициенты при соответствующих переменных должны
                                                         
                                2     2
                                                         
                                                         
                                                         
                                                         
                                                                  a2 A
                               x1    y1                  
                                                         
                                                         
                                                           x1 = −
                                2     2   −1             
                                                                  C
быть пропорциональны, поэтому a = b =        , откуда 
                               A     B    C              
                                                         
                                                         
                                                         
                                                         
                                                                 b2 B
                                                          y1 = −
                                                         
                                                                   C
— координаты точки касания. Так как точка (x 1 , y1 ) лежит на эллипсе,
                                                     x21 y12
то ее координаты удовлетворяют уравнению эллипса        +      = 1, по-
                                                      a2 b2
                                                 2            2
                                              2              2
                                         −
                                             a  A      −
                                                           b   B 
                                              C             C
этому выполняется следующее соотношение               +             = 1,
                                             a2            b2
          a2 A2 b2 B 2
то есть        + 2 = 1, откуда a2 A2 + b2 B 2 = C 2 .
           C2    C

   № 422. Эллипс касается оси абсцисс в точке A(+7; 0) и оси ординат
в точке B(0; +4). Составить уравнение эллипса, если известно, что оси
его параллельны осям координат.
                               Решение
   Из условия задачи следует, что центр эллипса находится в точке (7; 4)
(рис. 3.6), a = 7, b = 4, и, следовательно, уравнение эллипса имеет
следующий вид
                       (x − 7)2 (y − 4)2
                                +          = 0.
                          49         16




          Рис. 3.6                               Рис. 3.7

                                   17

Страницы